2.3 Кореляційний аналіз

Функціональним називають зв’язок між ознаками, при якому кожному значенню однієї змінної відповідає чітко окреслене значення іншої змінної.

Кореляційним (статистичним) зв’язком називається такий зв’язок, при якому чисельному значенню однієї змінної відповідає кілька значень іншої.

Кореляційною залежністю y від x називається така залежність при якій зміни випадкової величини x спричиняють зміни середнього значення змінної y ( ), тобто .

Вибірковим коефіцієнтом кореляції називається число:

,

де – вибіркові середні для і , тобто , .

– вибіркові середньоквадратичні відхилення для і

.

Властивості коефіцієнта кореляції:

1. абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевершує 1

2. якщо , то і зв’язані точкою лінійного зв’язку: ;

3. якщо , то між і немає лінійного зв’язку, але криволінійна залежність можлива;

4. чим ближче до , тим сильніший лінійний зв’язок між і і, чим ближче до , тим він слабкіший;

5. якщо , зв’язок між і зростаючий, , зв’язок – спадний (рис 10)

рис. 10

Рівняння лінійної регресії .

Параметри лінійної регресії рівні:

, .

Перевірка гіпотези про значимість коефіцієнта кореляції.

Гіпотеза – лінійного кореляційного зв’язку немає для даної генеральної сукупності.

а) Визначаємо значення критерію, що спостерігається

.

б) по таблиці Ст’юдента визначають .

в) при – нульову гіпотезу відкидають,

при – приймають.

Приклад 2.2. Знайти коефіцієнт кореляції і рівняння лінійної регресії для заданої залежності врожайності (ц/га) від якості ґрунту (у балах). Перевірити коефіцієнт кореляції на значимість.

	–1	0	1	4
	–1	2	0	2

Розв’язання. Для зручності обчислень складемо розрахункову таблицю:

–1	–1	1	1	1
0	2	0	0	4
1	0	0	1	0
4	2	8	16	4
4	3	9	18	9

Обчислимо середні значення для х і у:

; ; (n=4)

Обчислимо середні квадратичні відхилення для х і у:

; .

Обчислюємо коефіцієнт кореляції:

.

На підставі властивостей коефіцієнта кореляції робимо висновок.

Оскільки r=0,62 >0, то між x і y сильний, зростаючий лінійний кореляційний зв’язок. Обчислюємо коефіцієнти лінійної регресії :

;

Рівняння лінійної регресії має вигляд:

Побудуємо на координатній площині задані пари точок і отримаємо пряму (рис. 11).

Перевіримо коефіцієнт кореляції на значимість.

– для даної генеральної сукупності лінійного кореляційного зв’язку немає.

а) Обчислюємо значення критерію, що спостерігається

.

б) За таблицею Ст’юдента визначаємо

.

в) Оскільки (1,12 < 4,30) нульову гіпотезу відкидаємо, тобто коефіцієнт кореляції для всієї генеральної сукупності не дорівнює нулю.