Углы 0 , 1 находим, как и в п. 2 , по формулам (1.8 б, в).

4. По начальной точке TН(xН,yН), углу наклона касательной в ней и конечной точке TК(xК,yК) (Рис.1.4).

Рис. 1.4

Введя направляющий векторt=(cos,sin) в точке T_Н, представим систему уравнений для определения вектора в виде:

Общее решение ее имеет вид:

,

где - нормаль к ,

.

Отсюда получим:

Радиус r, углы находим так же, как и в п. 2.

1.5. Основные аналитические способы задания поверхностей

1. Неявный способ задания. Применяется в тех случа-ях, когда ни одну из координат нельзя однозначно выразить через другие. Уравнение можно представить в виде:

f (x, y, z) = 0. (1.9)

Если область изменения координат (x, y, z) меньше об-ласти решений уравнения (1.9), то её указывают дополни-тельно. В случае совпадения область изменения обычно не указывают.

Пример 1. Уравнение эллипсоида с полуосями (a,b,c) и центром в начале координат (Рис. 1.5):

Точками эллипсоида являются все возможные реше-ния данного уравнения.

Рис. 1.5 Рис. 1.6

2. Явный способ задания. Одна из трёх координат ана-литически выражается через остальные. Например, коорди-наты точек по оси z выражаются через координаты по осям x, y:

z = f(x,y). (1.10)

Если аргументы принимают любые вещественные значения, то область их изменения можно не указывать.

Пример 2. - параболоид вращения вокруг оси z с вершиной в начале координат (0,0,0) (Рис. 1.6).

3. Параметрический способ задания. Координаты то-чек поверхности являются функциями двух параметров (u,v):

(1.11)

где  - область изменения независимых параметров u, v .

Пример 3.

x = 3 u + 5 v + 9 (1 – u - v);

y = 2  u +7 v + 10  (1 – u - v);

z = 1 u + 6  v + 11 (1-u-v);

0  u , v  1; 0  u +v  1.

Система описывает координаты (x,y,z) точек на плоском треугольнике с вершинами в точках P₀=(3,2,1); P₁=(5,7,6); P₂=(9,10,11) (Рис. 1.7). Для того, чтобы исклю-чить точки, лежащие за пределами треугольника P₀P₁P₂, дополнительно указана область изменения независимых параметров u и v.

Рис. 1.7

1.6. Виды поверхностей

1. Цилиндрические поверхности. Образованы прямы-ми, параллельными некоторой оси. Путем поворота и сдви-га системы координат уравнение цилиндрической поверх-ности всегда можно представить в таком виде, когда одна из координат (вдоль оси цилиндра) отсутствует. Например, если ось цилиндра параллельна оси z, то уравнение поверх-ности примет вид:

f(x,y)=0. (1. 12)

К ривая f(x, y)=0 , которая лежит в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Рис. 1.8 Рис.1.9

П ример 1. Уравнение кривой имеет вид:

В 3-мерном пространстве поверхность является цилиндром с направляющим эллипсом в плоскости z = 0 и осью, параллельной оси z (Рис.1.8).

2.Конические поверхности. Образованы прямыми проходящими через некоторую точку (x₀,y₀,z₀), которую на-зывают вершиной конуса. Функция f(x,y,z) обладает следу-ющим свойством:

f(k(x-x₀ ), k(y -y₀ ),k(z-z₀))=kⁿ f(x-x₀ ,y-y₀ ,z-z₀ ). (1.13)

Число n называется степенью конической поверхнос-ти.