1)Сокращение размеров тел в направлении их движения.

Пусть в условно неподвижной системе К покоится стержень, координаты концов которого х₂ и х₁ . Наблюдатель может измерить его длину, прикладывая эталон. Пусть мы теперь хотим измерить длину этого стержня, находясь в движущейся со скоростью системе К .Теперь этот эталон, находящийся в К , будет двигаться относительно стержня, поэтому наблюдатель в К должен одновременно отметить концы стержня, т.е. .

	l0 - длина стержня в системе К и l - длина стержня в системе К
	воспользуемся преобразованиями Лоренца для координат
	теперь воспользуемся преобразованиями Лоренца для времени и получим
	подставив в , и учтя, что и найдем связь между l и l0

l  l´

выражение, связывающее длину отрезка в различных ИСО; l0 – длина стержня в системе, относительно которой он покоится (в нашем случае в К), l – длина этого отрезка в системе, относительно которой он движется (К )

Таким образом, из СТО следует, что размеры движущихся тел должны сокращаться в направлении их движения. Для того, чтобы можно было обнаружить сокращение размеров тел, необходимо, чтобы макротела двигались со скоростями, близкими к скорости света и, самое главное, требуется одновременно зафиксировать концы стержня. Ни визуально, ни фотографически этого сделать нельзя, т.к. в глаз попадают лучи одновременно, но испущены они из концов неодновременно, т.к. система К движется, а скорость светового сигнала хотя и очень велика, но не бесконечна. Если два космических корабля движутся друг относительно друга, то каждый наблюдатель должен был бы видеть другой корабль сократившимся в направлении движения, но реального сокращения нет, т.к. все ИСО равноправны. Это все равно, что два человека стоят по разные стороны большой линзы и видят, что один меньше другого, но это не означает, что они действительно один меньше другого.

2)Относительность одновременности событий

Пусть в неподвижной системе К в разных точках (х₂  х₁) одновременно происходят некоторые события. Спрашивается, будут ли эти события одновременными, если за ними наблюдать, находясь в движущейся системе К ?

Таким образом, одновременно происходящие события в К оказываются неодновременными в К .

3)Замедление хода движущихся часов

Пусть в данной точке в неподвижной системе отсчета К (х₂ = х₁ ) длится некоторое событие в течение времени t₀ = t₂  t₁ . Выясним, какова будет длительность этого события, если наблюдать за ним из движущейся системы К .

	выразим длительность события в К , используя преобразования Лоренца, получим:

t  t0

выражение, связывающее между собой длительность данного события в разных ИСО; t0 - длительность события в К, t – длительность этого события в К

Таким образом, движущиеся часы должны идти медленнее. t₀ – время по часам, движущимся вместе с телом («событием») называется собственным временем.

Эта формула нашла подтверждение при наблюдении мезонов – нестабильных частиц, которые попадают на Землю из космоса. Эти же мезоны образуются в лабораторных условиях при взаимодействии некоторых элементарных частиц. Среднее время их жизни по лабораторным часам, относительно которых они практически неподвижны, t₀ = 2.10^8 с. Скорости мезонов сопоставимы со скоростью света, поэтому путь, который они могут пройти в лаборатории до их распада не может быть больше l₀  сt  6 м. Возникает вопрос, как же мезоны могли пройти толщу атмосферы 20-30 км? Объяснить это можно замедлением хода движущихся часов. При исследовании элементарных частиц, получаемых в ускорителях, учитывается тот факт, что частицы могут пройти до распада расстояния более 6 м, и мишени располагают, соответственно, на бóльших расстояниях.

Интервал между событиями в СТО.

Согласно классической механике пространство и время никак не связаны между собой. Пространственный интервал определяется разностями соответствующих координат:

пространственный интервал (отрезок) в классической механике

Согласно СТО пространство и время неразрывно связаны друг с другом. Иначе говоря, мир, в котором мы живем, является четырехмерным (3 координаты и время), поэтому вместо слова «отрезок» следует говорить «пространственно-временной интервал, включающий в себя кроме координат еще и время.

пространственно-временнóй интервал в СТО

Пространственно-временнóй интервал s_СТО является инвариантом при использовании преобразований Лоренца, т.е. имеет один и тот же вид в любой ИСО. Это можно показать, используя преобразования Лоренца (рекомендуем студентам проделать это самостоятельно для случая y=0, z = 0).

Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть два фотона 1 и 2 движутся навстречу друг другу со скоростями, равными v₁ = с и v₂ = с (с - скорость света) относительно условно «неподвижной» системы отсчета Земля К

(см. рис.). Найдем скорость 1-го фотона в системе отсчета К, связанной со 2-ым фотоном, используя классическую формулу для сложения скоростей:

или	классическая формула сложения скоростей в векторной форме (обозначения –см. ранее – принцип относительности Галилея)
	 для 1-го фотона в проекциях, v1 –скорость 1-го в К, v1 – скорость 1-го в К, v2 – скорость 2-го, т.е. скорость К в К.
	найдем v1 , учитывая, что v1 = v2 = с

Таким образом, скорость одного фотона в системе отсчета, связанной со 2-ым, оказалась равной 2с, но согласно СТО ни одна частица не может двигаться со скоростью, большей скорости света.

При движении тел со скоростями, сопоставимыми со скоростью света в СТО был получена другая формула, которую называют релятивистской формулой сложения скоростей. Запишем формулы для простейшего случая движения систем в одном направлении.

	u – скорость тела в неподвижной системе отсчета К u - скорость тела в движущейся системе отсчета К v – скорость системы К относительно системы К (мы заменили буквы по сравнению с предыдущими формулами, чтобы не использовать индексы и еще больше не загромождать формулы)

Получим эти формулы.

	введем промежуточную переменную t
	найдем производную, используя преобразования Лоренца
	
	перемножим производные, учитывая, что
	произведя алгебраические действия, найдем из этого уравнения u или u

Вычислим теперь скорость фотона из предыдущего примера по релятивистской формуле.

v₁ = u₁ = c–скорость 1-го фотона в К, v₁ = u₁ = c– скорость 1-го в К, v₂ = v – скорость 2-го фотона, т.е. скорость К в К. Таким образом по релятивистской формуле скорость фотона не превышает скорость света c.

Понятие о релятивистской динамике

При использовании преобразований Лоренца основной закон динамики m(dp/dt) = F оказывается инвариантным при условии, что импульс частицы записывается в виде:

	релятивистский импульс частицы
	основной закон релятивистской динамики

Тогда основной закон релятивистской динамики формально сохраняет такой же вид, как II закон Ньютона, но между ними имеется принципиальное различие. (см. ниже)

	Величина m называется релятивистской массой, она зависит от скорости тела и не является инвариантом, т.е. имеет различное значение в разных ИСО.

m₀ – масса тела, называемая также массой покоя, является инвариантом и имеет одно и то же

значение в любых ИСО.

В классической механике ускорение частицы и сила, вызвавшая это ускорение, всегда направлены одинаково. При скорости движения частицы сопоставимой со скоростью света, т.е. в релятивистском случае, направление ускорения и силы совпадают только в двух случаях: 1) когда сила параллельна скорости в каждый момент времени и 2) когда сила перпендикулярна скорости. В общем случае направления ускорения и силы не совпадают (см. рис)

Взаимосвязь массы и энергии в теории относительности.

Введем новые обозначения для энергии, которые чаще всего используются в СТО.

 полная энергия

 кинетическая энергия (будем использовать обозначение Т)

Найдем выражение для кинетической энергии в СТО, считая, что приращение кинетической энергии происходит за счет работы некоторой силы. Тело в начальный момент неподвижно и является свободным, т.е. не взаимодействует с другими телами и не обладает, таким образом, потенциальной энергией.

	чтобы проинтегрировать и получить , нужно свести к одной переменной m, пока их две , и все равенства – скалярные произведения векторов,
	вместо переменной р появились переменные
	здесь уже нет векторных произведений т.к. , но остались две переменные
	возведем  в квадрат, выразим , подставим в  и получим
	теперь можно проинтегрировать , т.к. осталась одна переменная m
или	интегрируя, получим выражение для кинетической энергии в СТО

	релятивистская кинетическая энергия
	энергия покоя
	полная релятивистская энергия, т.е. энергия движущегося тела

Таким образом, из СТО следует, что любое неподвижное тело обладает запасом энергии, равной . Например, в теле массой 1 кг содержится энергия

Е₀ = 1910¹⁶ Дж. Этой энергией можно нагреть на 100^оС водоем с размерами

1 км  20 км  20 м. Проблема состоит в том, как выделить эту энергию. Даже при термоядерной реакции освобождается меньше 1% от полной энергии, соответствующей всей массе покоя. В классической механике понятие «энергия покоя» отсутствовало.

это выражение называется закон Эйнштейна взаимосвязи массы и энергии

Согласно этому закону, общий запас энергии тела (или системы тел), из каких бы видов энергии он ни состоял (кинетическая, потенциальная, тепловая, электрическая и пр.) связан с массой тела (системы тел) этим соотношением. Иначе говоря, если изменится масса тела, изменится и его энергия, и наоборот.

Пусть кусок железа массой 1 кг нагрели на 1000^оС. Вычислим, насколько должна при этом измениться масса куска.

	изменение энергии тела на должно изменить его массу на
	Q - теплота при нагревании, С – удельная теплоемкость нагреваемого вещества
	не существует таких приборов, чтобы при массе 1 кг обнаружить такое маленькое ее изменение

Все формулы СТО переходят в классические при v<< c.Например, найдем кинетическую энергию тела при малых скоростях.

при  1	приближенное выражение, известное из математики
	релятивистское выражение переходит в классическое

Из СТО следует возможность существования частиц с нулевой массой, но они не могут быть неподвижными, а должны непрерывно двигаться, причем только со скоростью света с – это фотоны и, возможно, нейтрино.

связь энергии и импульса для частиц с нулевой массой (фотонов) m0 = 0

Некоторые формулы из СТО, которые можно вывести из приведенных выше выражений
	связь кинетической энергии частицы с ее импульсом
	связь полной энергии частицы с ее импульсом
	связь полной энергии и энергии покоя с импульсом