Тема 3.

Кинематика вращения точки по окружности.

П ри вращательном движении точки по окружности целесообразно заменить линейные характеристики движения на угловые. Если ввести вспомогательный вектор (псевдовектор) , численно равный углу поворота радиус-вектора и направленный по оси вращения по правилу буравчика (с правой резьбой), то используемые величины получат векторное выражение.

угловые характеристики вращательного движения	векторная форма, направления векторов указаны на рисунке	скалярная форма
угловое перемещение		- угол поворота радиус-вектора
угловая скорость		п оказывает, как изменяется угол поворота радиус-вектора за единицу времени
угловое ускорение		показывает, как изменяется угловая скорость за единицу времени

В самом общем случае вращение точки можно описать с помощью двух дифференциальных и двух интегральных уравнений:

общие кинематические уравнения вращательного движения точки в векторной форме

Если точка М движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а сама ось не меняет своего положения в пространстве, то кинематические уравнения после интегрирования примут более простой вид (естественно принять_о = 0 и отсчет угла вести в направлении движения):

кинематические уравнения равноускоренного (+) и равнозамедленного () вращательного движения точки в скалярной форме

Кроме перечисленных выше величин при вращательном движении используют:

N – общее число оборотов

Т (с)– период обращения – это время одного оборота,

 (об/с) - частота вращения или число оборотов за единицу времени.

Эти величины связаны между собой формулами:

Связь между линейными и угловыми характеристиками движения точки в скалярной и векторной формах

Тема 4.

КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА (АТТ)

Абсолютно твердое тело (АТТ) – это совокупность материальных точек, находящихся на неизменном расстоянии друг от друга. За АТТ можно принять любое реальное тело, деформациями которого можно пренебречь.

Механику принято делить на кинематику и динамику. В свою очередь эти разделы делят на кинематику материальной точки и кинематику АТТ, и, соответственно, динамику материальной точки и динамику АТТ.

Все возможные движения АТТ могут быть сведены к двум основным: поступательному и вращательному относительно некоторой мгновенной оси (ось можно «выдумать» какую хочешь, она не обязательно должна совпадать с действительной осью вращения, но надо выбирать такую, для которой известен момент инерции тела).

Поступательное движение – это движение, при котором прямая АВ, проведенная через любые две точки тела, перемещается параллельно самой себе (см. рис.). При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения. Следовательно, для описания поступательного движения АТТ достаточно знать движение всего одной точки, например, центра масс (о центре масс - см. ниже).

Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Ось вращения в общем случае может не проходить через тело. В качестве кинематического уравнения вращательного движения АТТ достаточно знать уравнение  (t) для угла поворота радиус-вектора, проведенного от оси вращения к какой-либо точке тела (если ось неподвижна). Таким образом, принципиально кинематические уравнения движения для точки и АТТ ничем не отличаются.

В основе классической механики лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона: «Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют силы или их действие скомпенсировано».

Выводы:

• Покой и равномерное прямолинейное движение тела – это одинаковое и естественное механическое состояние тел при отсутствии внешних воздействий

• Закон содержит в себе качественное определение силы – это то, что изменяет состояние движения тела.

Свойство сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называют инерцией (или инертностью). Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции, а системы отсчета, в которых он выполняется – инерциальными системами отсчета (ИСО). Наиболее точной инерциальной системой является гелиоцентрическая, центр которой находится на Солнце, а оси координат направлены на три «неподвижных» звезды. Естественно, пользоваться этой системой отсчета практически невозможно, поэтому очень часто используют систему отсчета, связанную с Землей, считая ее «неподвижной». В большинстве случаев погрешность при этом оказывается незначительной. ИСО может быть сколь угодно много и все они равноправны. Любая система, движущаяся с постоянной по величине и направлению скоростью относительно ИСО, также является инерциальной.

Второй закон Ньютона можно записать в различной форме, соответственно, и формулировки будут разными. Но сначала введем некоторые определения.

 импульс тела (количество движения)– это вектор, направленный так же, как

скорость

изменение импульса тела (конечное и бесконечно малое)

- сила – мера механического воздействия на тело других тел или это то, что изменяет

состояние движения тел или вызывает их деформацию и возникает в результате

взаимодействия по крайней мере двух тел.

-импульс силы – это произведение силы на время ее действия (у этой

величины нет «своей» буквы для обозначения)

(не путать с импульсом тела р= mv).

 масса тела – это мера инертности тела, т.е. мера того сопротивления, которое оказывает

тело при попытке изменить его состояние движения.

равнодействующая всех сил, действующих на тело. Эта формула выражает закон независимости действия сил: «Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из них сообщает ускорение так, как если бы других сил не было». На основании этого закона любую силу можно разложить на составляющие.

Запишем теперь второй закон Ньютона.

Это самое общее выражение для второго закона Ньютона. Формулировка: «Изменение импульса тела за единицу времени равно векторной сумме сил, действующих на тело».

в таком виде закон можно сформулировать так: «Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело». Иначе говоря, только сила может

изменить импульс тела.

второй закон Ньютона :для m = const и a = const:

«Ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально силе, действующей на тело, и направлено так же, как сила».

Второй закон Ньютона называют основным законом динамики. Если известны силы, действующие на тело, масса тела и его начальные координаты и скорость, то второй закон Ньютона дает возможность получить кинематические уравнения движения тела, т.е. определить, как будет двигаться тело под действием этих сил. Или решить обратную задачу: зная кинематические уравнения движения тела, можно определить силы, действующие на тело.

Но II закон Ньютона не дает ответа на вопрос, откуда берутся силы. Ответ на этот вопрос содержится в III законе Ньютона – причина появления силы – другое тело.

Третий закон Ньютона: «Силы взаимодействия двух материальных точек друг с другом равны по величине и направлены противоположно по линии, соединяющей точки».

Таким образом, согласно I закону только сила может изменить состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения тела (причем эти состояния неразличимы); II закон говорит о том, как будет изменяться скорость тела под действием силы, а III закон определяет причину появления силы – другое тело.

Законы Ньютона справедливы не для всех систем отсчета, а только для ИСО. Рассмотрим такой пример. Наблюдатель находится в вагоне, перед ним гладкий стол, на котором лежит шар. Что происходит за пределами вагона, человек не видит. Вдруг шар начинает катиться. И хотя никаких горизонтальных сил нет, тело приобрело ускорение, что противоречит II закону Ньютона. Но для другого наблюдателя, находящегося вне вагона на «неподвижной» земле, никаких противоречий нет. Вагон начал двигаться с ускорением, а шар остался на месте. Таким образом, для систем отсчета, движущихся с ускорением (вагон) относительно инерциальной системы отсчета («земля») законы Ньютона не применимы. Такие системы отсчета называются неинерциальными (НИСО). Основной закон динамики в НИСО формально имеет такой же вид, как II закон Ньютона, но принципиально отличается от него тем, что к обычным силам, появляющимся из-за взаимодействия рассматриваемого тела с другими телами, добавляются силы, не имеющие противодействующей и неизвестно откуда возникающие. Эти силы называют силами инерции (например, центробежная сила инерции). (см. литературу /1/).

СИЛЫ В ПРИРОДЕ.

Все взаимодействия тел можно отнести к одному из 4-х существующих в природе типов.

1) Сильные взаимодействия или ядерные силы. Самые сильные взаимодействия. Это силы притяжения, очень короткодействующие, они проявляются на расстояниях порядка 10^15 м при взаимодействии нуклонов  протонов и нейтронов  внутри атомных ядер. При механическом перемещении тел они никак не сказываются, а при движении нуклонов законы Ньютона неприменимы.

2) Электромагнитные взаимодействия – это электрические и магнитные силы (кулоновские, сила Лоренца, сила Ампера), проявляющиеся при взаимодействии заряженных частиц, атомов и молекул между собой. Электрические и магнитные силы существуют в единстве; строго говоря, их нельзя разделять. Но магнитная составляющая электромагнитного взаимодействия значительно слабее электрической, поэтому в некоторых случаях ею можно пренебречь. В механике электромагнитные силы играют одну из главных ролей – это силы упругости и силы трения.

3) Слабые взаимодействия – у этих сил нет своего названия. Они проявляются при взаимодействии элементарных частиц. При механическом движении тел они никак не проявляются.

4) Гравитационное взаимодействие самое слабое взаимодействие  это силы тяготения. Согласно закону тяготения Ньютона, все тела притягивают друг друга с силой, прямо пропорциональной массам тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. В земных условиях от силы тяготения нельзя «отгородиться», она всепроникающая, но если масса тела очень мала, ею можно пренебречь. Например, при движении электрона в поле заряженного конденсатора – по сравнению с электрической силой.

Соотношение между величинами этих типов взаимодействия примерно равно: 1:2:3:4 = 1:10^4:10^13:10^38.

СИЛЫ В МЕХАНИКЕ

При механическом перемещении макротел проявляются два типа сил – электромагнитные (сила трения, сила нормальной реакции опоры, сила упругости, электрические и магнитные силы) и гравитационные.

Рассмотрим типичный пример движения тела. Пусть тело тянут с силой F с помощью веревки, прикрепленной к телу, по горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Согласно третьему закону Ньютона причина появления силы – другое тело. На рассматриваемое тело действует Земля – сила тяжести mg, веревка – сила F и поверхность стола – сила R, которая называется силой реакции связи (тела со столом). Так как заранее неизвестно, под каким углом направлена R, эту силу в физике обычно не рассматривают, а раскладывают ее на две

с оставляющие (см. рис.):

N - нормальная составляющая (нормальная реакция опоры) и

F_тр – тангенциальная (касательная) составляющая, имеющая собственное

название – сила трения.

Трение, возникающее при движении одного твердого тела по поверхности другого твердого тела, называют внешним (или сухим) трением; при движении твердого тела в жидкости – сопротивлением, вязким трением, вязкостью. При сухом трении различают:

F _{тр.покоя} – силы трения покоя – их может быть множество (см. рис),

(F_{тр.покоя})_max – максимальная сила трения покоя, при которой происходит

сдвиг тела – она одна для данной пары поверхностей,

F_{тр.скольж.} – сила трения скольжения, всегда направлена против скорости тела,

F_тр.кач. – сила трения качения, для данных поверхностей она всегда намного

меньше силы трения скольжения.

Как установлено из опыта, максимальная сила трения покоя прямо пропорциональна силе давления тела на опору, - , которая численно равна силе нормальной реакции опоры - (по III закону Ньютона). Коэффициент пропорциональности  называется коэффициентом трения. Таким образом,

- коэффициент трения

Когда тело начинает скользить, сила трения скольжения немного уменьшаться по сравнению с максимальной силой трения покоя. Во многих случаях при малых скоростях сила трения скольжения оказывается пропорциональной скорости тела: F_тр.ск  кv. С увеличением скорости сила трения скольжения начинает увеличиваться. При очень больших скоростях могут появиться световые и звуковые эффекты, разрушения поверхностей, химические взаимодействия. Не существует единой формулы для силы трения скольжения, для каждой пары поверхностей нужно проводить специальные исследования. В простейших задачах считают силу трения скольжения независящей от скорости и равной максимальной силе трения покоя. В более сложных задачах силу трения скольжения принимают пропорциональной скорости или ее квадрату. (чтобы можно было легко проинтегрировать).

Сила трения при качении зависит от той силы, с которой колесо давит на опорную поверхность, равной силе тяжести, и от радиуса колеса R. Коэффициент трения качения f при этом оказывается

размерной величиной и измеряется в СИ в метрах.

Сила тяготения, сила тяжести, вес тела.

Согласно закону тяготения Ньютона все тела притягивают друг друга с силой, зависящей от их масс и от расстояния между ними. Для двух материальных точек, сфер или шаров закон формулируется так: «Сила тяготения прямо пропорциональна массам тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между материальными точками или центрами сфер или шаров».

З акон тяготения для двух материальных

точек, сфер или шаров в скалярной форме.

m₁, m₂ – массы тел,

r – расстояние между центрами сфер или шаров.

G  6,6710^11 (Нм²)/кг² – гравитационная постоянная – по смыслу – она равна силе, с которой взаимодействуют два тела массами по 1 кг, находящиеся на расстоянии

1 м друг от друга.

 в векторной форме. Знак проекции силы (+ или) будет зависеть от выбора направления вектора  от центра I –го шара к центру II-го или наоборот.

Сила тяжести - это сила притяжения тела к Земле, но она не равна силе тяготения, т.к. Земля является неинерциальной системой отсчета, и на все тела, кроме силы тяготения, действует центробежная сила инерции.

Здесь: m – масса тела, R – радиус Земли,  - угловая скорость вращения Земли,  - широта места.

Центробежная сила направлена не по радиусу Земли, а перпендикулярно земной оси в радиальных направлениях. Следовательно, сила тяжести оказывается различной в разных точках Земли. Однако наибольшее отличие величины силы тяжести от силы тяготения составляет всего 0,3 %. Если сила тяготения всегда направлена к центру Земли, то сила тяжести – нет, но максимальное отклонение от радиального направления всего 6 угловых минут. Таким образом, с достаточной степенью точности силу тяжести можно считать равной силе тяготения.

Вес тела – это сила, с которой тело действует на подставку или подвес.

Вес не может быть приложен к телу, это сила, с которой рассматриваемое тело действует на другое тело.

Найдем вес тела, находящегося в лифте.

			II закон Ньютона для тела (в векторной форме)
			по III закону Ньтона
			Обозначим вес буквой Р
II закон Ньютона в проекциях

Из таблицы видно, что вес тела может быть равен, больше или меньше силы тяжести, это зависит только от ускорения, с которым движется тело, и не зависит от направления скорости.

Если тела не являются материальными точками, сферами или шарами, то вычисление силы тяготения представляет собой сложную математическую задачу. Например, вычислить силу тяготения между двумя стульями и получить формулу практически невозможно. Рассмотрим более простой пример. Найдем силу тяготения между однородным стержнем массой М

и длиной L и материальной точкой массой m_о ,находящейся на расстоянии а от стержня.

,	введем массу единицы длины стержня и выделим в стержне бесконечно малый элемент массой dm
	сила тяготения между точечными массами m0 и dm
			интегрируем по всему стержню

Силы упругости.

В природе не существует абсолютно твердых тел. Под действием внешних сил тела изменяют свою форму и размеры, это изменение называют деформацией тел. Различают несколько типов деформаций: растяжение (сжатие), изгиб, сдвиг и кручение. Деформация называется упругой, если она исчезает после удаления вызвавшей ее нагрузки, и пластической, если она хотя бы частично остается после снятия нагрузки. Простейший вид деформации – однородное растяжение – когда все прямые и плоскости в теле до деформации остаются прямыми и плоскостями после деформации. Мерой деформации служит абсолютное (l) или относительное ( =  l/ l) удлинение. Напряжением  называют величину силы, действующей на единицу площади поперечного сечения тела. График зависимости  от  имеет характерный вид (см.рис.). При небольших нагрузках эта зависимость линейна. В этом случае говорят, что тело подчиняется закону Гука.В курсе общей физики рассматривается движение только абсолютно твердых, недеформируемых тел, но на них могут действовать силы со стороны пружин, резиновых шнуров, т.е. деформируемых тел. Такие силы называют силами упругости  они прямо пропорциональны удлинению (сжатию) пружины (резинового шнура):

сила упругости,. «» означает, что сила упругости

направлена всегда противоположно смещению

k (Н/м) – коэффициент упругости или жесткость пружины,он равен той силе,

которую нужно приложить к пружине, чтобы растянуть ее на единицу длины.

х – удлинение (сжатие) пружины (или смещение от точки равновесия)

l_o – собственная длина пружины.

В качестве примера решения прямой задачи динамики

найдем, как будет двигаться лодка на озере после выключения мотора. Пусть начальная скорость лодки v_о . Рассмотрим два случая: один раз предположим, что сила сопротивления пропорциональна скорости, второй раз – пропорциональна квадрату скорости лодки и найдем

скорость лодки в зависимости от времени.

	запишем II закон Ньютона для лодки в дифференциальной форме, т.к.сила const
	II закон Ньютона в проекциях. «» означает, что скорость уменьшается.
		предполагаемая зависимость силы сопротивления от скорости
		подставим во II закон Ньютона, разделим переменные и проинтегрируем
		получим выражения, из которых найдем зависимость
		в обоих случаях скорость убывает со временем, но по разным законам

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОГО ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ

МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА.

Рассмотрим систему из n материальных точек с массами m₁, m₂,…, m_n (см.рис.). Разделим силы на внутренние и внешние: - внутренние силы, действующие между телами, включенными в систему

(i,j = 1,2,…, i  j), - внешние силы, действующие со стороны других тел, не включенных в систему. Запишем для каждой точки II закон Ньютона, а затем просуммируем левые и правые части формул по всем точкам:

	II закон Ньютона для 1-ой точки
	II закон Ньютона для i-ой точки
	При суммировании внутренние силы дадут 0, т.к. по III закону Ньютона .

В результате получим:

Это выражение называется теоремой об изменении полного импульса системы материальных точек и по существу представляет собой II закон Ньютона для системы материальных точек. Смысл его в том, что полный импульс системы может

измениться только под действием внешних сил.

Система, на которую не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано, т.е. для которой , называется замкнутой или изолированной. Для такой системы можно записать: и, следовательно,

Это закон сохранения импульса: «В замкнутой системе полный импульс системы материальных точек остается постоянным».

Ни одна система на Земле не является замкнутой, т.к. всегда действуют силы тяжести, но закон сохранения импульса можно применять для незамкнутых систем, если:

1) алгебраическая сумма проекций внешних сил для некоторого направления х равна нулю, т.е. , тогда ;

2)импульс внешних сил значительно меньше импульса внутренних сил: , т.е. внешними силами можно пренебречь. Например, при ударах и взрывах можно пренебречь силами тяжести.

ЦЕНТР МАСС (ЦЕНТР ИНЕРЦИИ)

Центром масс (центром инерции) называется воображаемая точка, в которой как бы сосредоточена вся масса тела или системы тел. Центр тяжести практически совпадает с центром масс.

Положение центра масс определяется радиус-вектором и координатами:

Перепишем первое уравнение, дифференцируя, найдем скорость центра масс и получим:

II закон Ньютона для движения центра масс, где  масса всех тел, входящих в систему. Из уравнения следует, что центр масс системы движется так же, как двигалась бы точка с массой m. Если система замкнута, т.е. , то .