Тема 8.

ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА (АТТ)

Как уже говорилось, любое движение АТТ можно рассматривать как два одновременно происходящих движения  поступательного и вращательного. Соответственно и основной закон динамики (II закон Ньютона) записывают в виде двух векторных уравнений.

Если тело может поворачиваться или вращаться под действием некоторой силы, то недостаточно знать величину и направление силы, важно также, на каком расстоянии находится точка приложения силы от оси вращения (попробуйте открыть дверь не за ручку, а надавливая вблизи оси ее поворота или повернуть велосипедное колесо не за обод, а за втулку вблизи его оси). Недостаточно также знать массу тела, важно, на каком расстоянии от оси вращения находится эта масса. Прежде, чем записывать закон динамики для вращательного движения, введем ряд понятий.

м омент силы относительно любой отсчетной точки O – это вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат радиус-вектор и вектор силы. На рисунке вектор М направлен перпендикулярно чертежу от нас. м омент импульса материальной точки относительно любой отсчетной точки О – это вектор, направленный перпендикулярно плоскости, в которой лежат радиус-вектор и вектор импульса точки. На рисунке вектор L направлен от нас.

Чтобы получить основной закон динамики вращательного движения, нужно АТТ рассматривать как систему материальных точек, разделить силы на внутренние и внешние (см. ранее  теорему об изменении импульса), записать II закон Ньютона для каждой точки. Затем векторно умножить обе части уравнения на радиус-вектор, проведенный от выбранной отсчетной точки О, и просуммировать по всем точкам:

	II закон Ньютона для i – ой точки
	векторное умножение обеих частей уравнения на радиус-вектор. В правой части – моменты внутренних и внешних сил
	суммирование по всем точкам, i , j = 1,2,…,n, i j
	первый член в правой части предыдущего уравнения равен нулю, т.к. моменты внутренних сил попарно уничтожаются

Векторная сумма моментов импульса всех точек тела называется полным моментом импульса АТТ относительно некоторой точки отсчета.

Тогда II закон Ньютона для вращательного движения можно записать в виде:

основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной точки (любой)

Для поступательного движения выражение было получено ранее:

основной закон динамики для поступательного движения абсолютно твердого тела (v_с- скорость центра масс)

Таким образом, любое движение АТТ описывается двумя векторными уравнениями или шестью скалярными уравнениями, если записать в проекциях:

В курсе общей физики таких сложных движений обычно не рассматривают и ограничиваются только плоским движением. При плоском движении каждая точка тела в процессе движения остается все время в одной и той же плоскости. В этом случае ось вращения не меняет своего положения по отношению к телу, и уравнения упрощаются, т.е. для поступательного движения достаточно двух осей проекций х и у, а для вращательного  одной оси z . При этом говорят, что «ось вращения неподвижна» (по отношению к телу).

Для «неподвижной» оси вращения момент импульса можно записать в скалярном виде, учитывая связь линейной и угловой скоростей :

.

Величина I называется моментом инерции тела – это скалярная величина  по смыслу момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Моменты инерции – это аддитивные величины, т. е. для нескольких точек при одной и той же оси они просто складываются

моменты инерции
материальной точки	системы материальных точек	абсолютно твердого тела  - плотность тела, V – объем тела

У данного тела масса – одна, а моментов инерции может быть множество, т.к. осей вращения можно выбрать, сколько хочешь, поэтому, говоря о моменте инерции тела, надо всегда указывать ось вращения.

Для симметричных тел простейшей формы момент инерции можно вычислить (взять интеграл и получить формулу). Для тела сложной формы это практически невозможно, поэтому момент инерции определяют опытным путем, изучая движение тела и используя кинематические формулы и второй закон Ньютона.

Для примера вычислим момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню.

(Сравните с вычислением силы тяготения между стержнем и точкой – математические операции однотипны).

(кг/м)	введем массу единицы длины стержня и выделим в стержне бесконечно малый элемент длиной dx и массой dm
		запишем момент инерции выделенного «кусочка» (материальной точки)
		просуммируем моменты инерции всех «кусочков», т.е. проинтегрируем

Моменты инерции некоторых тел (! только относительно указанных осей)

тонкое кольцо	диск, сплошной цилиндр	шар	стержень, квадратная пластинка	стержень, квадратная пластинка

В некоторых случаях вычисление момента инерции облегчает теорема Штейнера:

Если известен момент инерции тела относительно оси СС, проходящей через его центр масс, то момент инерции этого тела относительно оси ОО, параллельной оси СС, можно найти по этой формуле; a – расстояние между осями, m – масса тела

При неподвижной оси вращения основной закон динамики можно записать в скалярной форме:

основной закон динамики вращательного движения АТТ

при неподвижной оси вращения

(II закон Ньютона для вращательного движения),

 - угловая скорость,  - угловое ускорение

Если система замкнутая (изолированная), иначе говоря, суммарный момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то из основного закона динамики следует, что полный момент импульса системы будет оставаться неизменным:

п ри вращении

относительно Закон сохранения момента импульса:

неподвижной точки «в замкнутой (изолированной) ² системе

полный момент импульса системы

при вращении остается постоянным»

относительно

неподвижной оси

Получим выражение для работы, совершаемой при повороте тела. Пусть к телу, которое может вращаться вокруг неподвижной оси О, приложена сила F , направленная (для простоты) по касательной. В общем случае, когда сила направлена под углом к касательной, вывод сложнее, но конечная формула та же самая.

	элементарная работа силы F при перемещении на dl
	момент силы F
	связь длины дуги с радиусом при бесконечно малом угле поворота d
	подставим в первую формулу и, интегрируя, получим:

работа при вращательном движении

мощность при вращательном движении

Найдем выражение для кинетической энергии при вращении тела относительно неподвижной оси, учитывая, что АТТ - система материальных точек, а энергия аддитивная величина:

Кинетическая энергия тела при вращении относительно

неподвижной оси

Если тело одновременно движется и поступательно и вращается, то его кинетическая энергия складывается из двух частей:

Кинетическая энергия тела при плоском движении

v_c – скорость центра масс

Пример. Рассмотрим скатывание сплошного цилиндра с наклонной плоскости.

	II закон Ньютона в векторном виде для поступательного и вращательного движений. Движение плоское.
	II закон Ньютона для центра масс в проекциях на оси х и у (оси указаны на рис.)
	для вращательного движения относительно оси z , проходящей через центр масс С и совпадающей с осью цилиндра – ось направлена перпендикулярно чертежу. R – радиус цилиндра. Силы mg и N момента не создают, т.к. проходят через ось вращения.
	связь между угловым ускорением  и ускорением центра масс аС.