Тема 9.

Если система замкнутая (изолированная), иначе говоря, суммарный момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то из основного закона динамики следует, что полный момент импульса системы будет оставаться неизменным:

п ри вращении

относительно Закон сохранения момента импульса:

неподвижной точки «в замкнутой (изолированной) ³ системе

полный момент импульса системы

при вращении остается постоянным»

относительно

неподвижной оси

Пример. Рассмотрим скатывание сплошного цилиндра с наклонной плоскости.

	II закон Ньютона в векторном виде для поступательного и вращательного движений. Движение плоское.
	II закон Ньютона для центра масс в проекциях на оси х и у (оси указаны на рис.)
	для вращательного движения относительно оси z , проходящей через центр масс С и совпадающей с осью цилиндра – ось направлена перпендикулярно чертежу. R – радиус цилиндра. Силы mg и N момента не создают, т.к. проходят через ось вращения.
	связь между угловым ускорением  и ускорением центра масс аС.

Пространство изотропно – это означает, что в пространстве нет каких-либо выделенных, особых направлений, все направления равноправны. Если рассуждать так же, как в случае однородности пространства, но систему тел не переносить, а поворачивать на любой угол, мы придем к выводу о сохранении момента импульса системы. Таким образом, закон сохранения момента импульса системы тел является следствием изотропности пространства.

Время однородно – это означает равноправие всех моментов времени. Если в два любых момента времени все тела замкнутой консервативной системы поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов все явления в системе будут протекать совершенно одинаково. Иначе говоря, течение физических процессов не зависит от выбора начального момента времени. Любой процесс имеет определенную длительность, начало и конец. Однородность времени означает, что «абсолютное положение» начального и конечного моментов не существенны для протекания процессов. Следствием свойства однородности времени является закон сохранения механической энергии.

Тема 10.

СИЛОВЫЕ ПОЛЯ

Физическим полем называется пространство, каждой точке которого поставлено в соответствие либо число (скалярное поле), либо вектор (векторное поле). Примером скалярного поля может служить поле температур. Скалярное поле наглядно изображается с помощью поверхностей уровня – это поверхность, во всех точках которой величина, характеризующая поле, остается постоянной. В случае поля температур эти поверхности называют изотермическими (см. рис.  температурное поле пламени газовой горелки). Векторное поле наглядно изображается с помощью силовых линий – это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором поля.

Поля консервативных сил характеризуют как скалярной величиной, так и вектором. Электростатическое поле характеризуют скалярной величиной, которую называют потенциалом, и векторной величиной – напряженностью.

	Потенциал – энергетическая характеристика поля  по смыслу – это потенциальная энергия, которой обладает единичный положительный заряд в данной точке поля.
	Напряженность – это силовая характеристика поля. По смыслу – напряженность – это сила, с которой действует поле на единичный положительный заряд в данной точке поля.

Гравитационное поле (поле тяготения) также характеризуют потенциалом и напряженностью

	Потенциал гравитационного поля – скалярная энергетическая характеристика – это потенциальная энергия, которой обладает тело единичной массы в данной точке поля
	Силовой (векторной) характеристикой гравитационного поля является ускорение свободного падения – это сила тяготения, действующая на тело единичной массы в данной точке поля.

Векторное поле называется центральным, если все векторы поля лежат на прямых, проходящих через одну и ту же точку поля. Примером служит поле тяготения Земли или поле точечного электрического заряда.

Если частица движется в поле, для которого известна зависимость его силовой характеристики для каждой точки поля F(r), то, используя основной закон динамики

(dp/dt) = F (r) (II закон Ньютона), в принципе можно определить траекторию частицы. Однако в действительности движение может быть сложным, и точное математическое решение оказывается невозможным. В этих случаях используют приближенные методы решения и ЭВМ. Можно также качественно описать поведение частицы, используя метод потенциальных кривых и законы сохранения импульса, момента импульса и энергии.

Рассмотрим движение частицы в одномерном потенциальном поле. График зависимости потенциальной энергии одной частицы, взаимодействующей с другой частицей, называют потенциальной кривой. Область пространства, в которой потенциальная энергия частицы имеет бóльшее значение, чем ее полная энергия, называется потенциальным барьером. Область пространства, в которой потенциальная энергия частицы имеет меньшее значение, чем вне ее, называется потенциальной ямой. На рисунке приведена потенциальная кривая  график зависимости потенциальной энергии молекулы 2, взаимодействующей с молекулой 1. В т. О помещена условно неподвижная молекула 1. К ней издалека приближается другая молекула 2 с полной энергией Е₁. Система замкнута и консервативна, следовательно, выполняется закон сохранения энергии: Е_полн = Е_кин + Е_пот = const. В точке с координатой r₁ полная энергия частицы 2 становится равной ее потенциальной энергии, а кинетическая энергия равна нулю, частица останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении. Иначе говоря, частица 2 с энергией Е₁ не может преодолеть потенциальный барьер. Такое движение, когда частица «пришла» из бесконечности и «уходит» в бесконечность, называется инфинитным. Если частица 2 окажется в области r₂  r₃ , имея при этом полную энергию E₂, она окажется в потенциальной яме и не сможет из нее выйти, а будет двигаться около частицы 1, приближаясь на расстояние r₂ и удаляясь на расстояние r₃. Такое движение называется финитным (конечным).

При таком подходе с использованием потенциальных кривых, мы не можем сказать, по каким траекториям будет двигаться частица 2, но, тем не менее, можем получить ценную информацию о ее поведении в поле частицы 1. При известной потенциальной кривой и заданной энергии частицы 2, она может пролететь мимо частицы 1 или же быть захваченной полем частицы 1 с образованием системы частиц 1-2. Такой подход важен при исследовании столкновений частиц в случаях, когда невозможно решение динамического уравнения движения.

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

Н айдем выражение для потенциальной энергии, которой обладает материальная точка, находящаяся в поле Земли. Гравитационное поле Земли является сферически симметричным. В таком случае используют не декартовы координаты, а сферические (см. рис.): две угловых координаты  и  и радиальную координату r, направленную от центра поля (т.О) к рассматриваемой точке Р. Будем считать, что поле Земли однородно и изотропно, тогда нам будет достаточно одной радиальной координаты r.

Изменение потенциальной энергии тела равно работе консервативных сил, взятой с обратным знаком: W_пот =  А. Следовательно, найдя работу, мы получим выражение для изменения потенциальной энергии тела (но не самой энергии!).

Пусть материальную точку с массой m перенесли на расстояние dr (см. рис.в таблице), совершив при этом элементарную работу dA против силы тяготения. Так как сила тяготения зависит от расстояния, для нахождения полной работы будем интегрировать, в результате получим общее выражение для изменения потенциальной энергии.

	элементарная работа; «» потому, что перемещение и сила направлены противоположно (cos 180o=1)
	сила тяготения, m- масса точки, M – масса Земли, r –радиальная координата
			интегрируя, найдем работу по переносу точки с массой m из положения с координатой r1 в положение с координатой r2, и получим:
		общее выражение для изменения потенциальной энергии материальной точки в поле тяготения Земли)

Чтобы найти выражение для потенциальной энергии, следует сначала выбрать тот уровень, на котором будем считать W_пот = 0. . Пусть в некоторой точке находится неподвижное тело, и нас спрашивают, чему равна его потенциальная энергия. Ответить на этот вопрос нельзя, пока не будет указан уровень, где W_пот = 0. В зависимости от выбора нулевого уровня, выражений для потенциальной энергии данного тела может быть множество.

Найдем выражения для потенциальной энергии материальной точки, находящейся в поле тяготения Земли. Рассмотрим два случая  для данного неподвижного тела примем: 1)W_пот = 0 на бесконечности, что имеет физический смысл, т.к. на очень большом расстоянии тела практически не взаимодействуют, и 2)W_пот = 0 на поверхности Земли (что удобно).

1		мы приняли W1 = 0 при r1 =  и заменили W2 = W и r2 = r
2	☻	здесь принято W1 = 0 при r1 = R (радиус Земли) и W2 = W и r2 = r

Можно ли пользоваться этой формулой?	да, при условиях: 1) Wпот = 0 на поверхности Земли и 2) высота тела над поверхностью Земли значительно меньше ее радиуса h R. Получим эту формулу из общего выражения ☻
		при h R g  ускорение силы тяжести на поверхности Земли

КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ

Движение тела в поле тяготения Земли можно исследовать с помощью потенциальных кривых. На рис. приведены потенциальные кривые для двух случаев выбора нулевого уровня W_пот = 0, соответствующие формулам, приведенным в таблице.

Рассмотрим 2-ой случай (он проще, т.к. здесь энергия – положительная величина). Пусть с поверхности Земли брошено тело массой m со скоростью v. Если полная энергия тела равна Е₁, тело преодолеет потенциальный барьер и вырвется за пределы Земли (инфинитное движение). Если полная энергия тела Е₂, то тело окажется в потенциальной яме, движение будет финитным в пределах от R до R+h (h – высота над поверхностью Земли). На втором рисунке показаны возможные траектории движения тела.

Минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало спутником Земли, двигаясь вблизи ее поверхности, называется I-ой космической скоростью – v_I.

Минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно вырвалось за пределы земного притяжения, называется II-ой космической скоростью – v_II.

	движение по окружности, формула выводится из 2-го закона Нютона
	движение по параболе, формула выводится из закона сохранения энергии в предположении, что на бесконечности Wкин = Wпот = 0