Тема 14.

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

К аждая молекула в газе испытывает большое число соударений с другими молекулами, вследствие чего она непрерывно меняет направление своего движения. Молекула движется подобно броуновской частице. И хотя скорости молекул при комнатной температуре порядка сотен метров в секунду, молекула передвигается очень медленно. Получим выражения для числа столкновений z молекулы в единицу времени и среднюю длину свободного пробега молекулы  Траектория движения молекулы – ломаная линия, но мы упростим вывод и сделаем следующие предположения. Пусть все молекулы неподвижны, а одна движется со скоростью v (см. рис.). Все молекулы – твердые шарики. Выделим мысленно цилиндр длиной l и диаметром 2d, где d – диаметр молекулы. Движущаяся молекула столкнется с теми молекулами, центры которых оказались внутри этого цилиндра (на рисунке это молекулы 1, 2 и 3). Если мы вычислим число молекул в цилиндре, то получим число столкновений.

	N - число молекул в цилиндре, V – объем цилиндра, n – концентрация молекул, S –площадь основания цилиндра
	двигаясь со скоростью , молекула проходит длину цилиндра за время t
	z - число столкновений за единицу времени (1/с)

При более строгом выводе следует учесть, что другие молекулы также движутся, ввести относительную скорость, среднюю арифметическую скорость , а для числа молекул с данной скоростью использовать максвелловское распределение. Тогда в формуле для числа столкновений появится коэффициент , и можно записать:

(1/с) среднее число столкновений молекулы

за единицу времени

- средняя арифметическая скорость

- эффективный диаметр молекулы (см. ниже)

среднее время между двумя последовательными столкновениями молекулы



средняя длина свободного пробега молекул – это расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными

столкновениями.

Если учесть, что , то из формулы ()следует, что при данной температуре средняя длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна давлению газа:  1/р. Для воздуха при температуре t = 0^оС и давлении р= 1 атм средняя длина свободного пробега молекул   10^5 см. Число столкновений молекул между собой составляет порядка 10¹⁰ в секунду.

Подставив в () , мы приходим к выводу, что в закрытом сосуде (V=const) длина свободного пробега  не зависит от температуры Т.

О днако из опыта следует, что даже при V=const наблюдается зависимость  от Т. Это объясняется тем, что молекулы не являются твердыми шариками, их диаметр является условной величиной и поэтому называется эффективным диаметром молекул – это среднее минимальное расстояние между центрами двух молекул.

(см. рис.). Молекула 2 имея энергию Е (а она зависит от температуры), не может преодолеть потенциальный барьер и приблизиться к молекуле 1 ближе, чем на определенное расстояние. С увеличением температуры и ростом энергии молекулы это расстояние будет уменьшаться.

При очень низких давлениях, когда газ находится в разреженном состоянии, длина свободного пробега определяется только размерами сосуда.

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Вследствие хаотического теплового движения молекулы, соударяясь, передают друг другу энергию и импульс, Перемещаясь, они тем самым меняют распределение массы в пространстве. Таким образом, молекулы переносят из одной области пространства в другую массу, импульс и энергию. В соответствии с этим различают три процесса переноса: 1) диффузия – перенос массы, 2) вязкость (внутреннее трение) – перенос импульса направленного движения и

3) теплопроводность – перенос кинетической энергии. Из молекулярно-кинетической теории можно получить общее уравнение переноса, поскольку все эти явления объединяются общей причиной – тепловым движением молекул.

Мы не будет приводить вывод уравнения, а рассмотрим каждый процесс в отдельности.

Диффузия.

Если в одной части пространства плотность молекул больше, чем в другой, то через некоторую мысленно выделенную площадку dS за время dt в одном направлении пройдет молекул больше, чем в противоположном. Таким образом, через площадку будет перенесена некоторая масса газа dM, и со временем плотность газа будет постепенно выравниваться. Насколько быстро будет происходить выравнивание плотности, зависит от величины, которая называется градиентом плотности. Для одномерного случая градиент равен d/dx. ⁵ По смыслу в одномерном случае градиент показывает, как изменяется плотность на единице длины. Такой процесс называется самодиффузия, Если же молекулы одного вещества проникают за счет теплового движения в среду с молекулами другого вещества, процесс называется взаимной диффузией (это более сложный процесс и мы его рассматривать не будем). Уравнение для переноса массы при диффузии газа в одномерном случае имеет вид:

уравнение диффузии (закон Фика).

D (м ²/с²) – коэффициент диффузии – по смыслу – это масса газа, переносимая за единицу времени через единичную площадку при единичном градиенте плотности;

j (кг/м²с) – плотность потока массы – это масса, переносимая за единицу времени

через единичную площадку.

В таком виде уравнение диффузии применимо и к газам и к жидкостям. Для идеального газа из МКТ можно получить выражение для коэффициента D:

коэффициент диффузии для идеального газа, средняя длина свободного пробега молекул, - средняя арифметическая

скорость молекул.

Вязкость (внутреннее трение)

П усть по трубе в направлении х течет газ со скорость u (см.рис.). При этом молекулы газа одновременно участвуют в двух видах движения: направленном со скоростью u и хаотическом тепловом со скоростью v. Выделим в потоке площадку dS . За счет теплового движения молекулы будут проходить через площадку, «перенося» вместе с собой импульс направленного движения mu. Вблизи стенок за счет столкновения с ними импульс направленного движения молекул будет уменьшаться. Следовательно, слои молекул у стенок будут иметь меньшую скорость u, и, соответственно, тормозить соседние слои. В результате скорости u оказываются различными в разных точках потока, иначе говоря, скорости направленного движения распределяются по некоторому закону в зависимости от радиального направления r (часто по параболическому – см. кривую на рис.). Таким образом, при движении газа в потоке происходит торможение одних слоев газа другими – это называется внутренним трением или вязкостью, а тормозящая сила называется силой внутреннего трения.

уравнение переноса для импульса направленного движения. Это уравнение обычно не используют, а учитывая что dP/dt = F, можно получить выражение для

силы внутреннего трения, которое называется

закон Ньютона для силы внутреннего трения

Здесь:

градиент скорости, показывающий, на сколько меняется скорость направленного движения на единице длины радиального направления

 - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом

динамической вязкости или коэффициентом внутреннего трения  по

смыслу – он равен силе внутреннего трения, действующей на единичную

площадку при единичном градиенте скорости.

 =  эта величина называется кинематическим коэффициентом вязкости

 - плотность газа ( - греческая буква «кси»).

Для идеального газа из МКТ коэффициент вязкости:

(кг/мс) коэффициент вязкости для идеального газа

Теплопроводность

Предположим, что газ находится между двумя стенками, имеющими температуры Т₁ и Т₂. Вследствие непрерывного движения молекул, они ударяются о стенки и между собой и приобретают (или отдают) свою кинетическую энергию. Так как температура газа связана с кинетической энергией поступательного движения молекул   то в результате между стенками постепенно установится некоторое распределение температуры (см.рис). Процесс передачи теплоты из одного места пространства в другое за счет теплового движения молекул, называется теплопроводностью. Уравнение переноса в этом случае:

уравнение теплопроводности (уравнение Фурье).

q (Дж/м² с) – плотность потока теплоты

  коэффициент теплопроводности (-греческая буква «хи») По смыслу  - это количество теплоты, прошедшее за единицу времени через единичную

площадку при единичном градиенте температуры.

 градиент температуры – в одномерном случае, когда температура меняется только в направлении х – градиент показывает, на сколько изменяется температура на единице расстояния.

Это уравнение теплопроводности применимо для газов, жидкостей и твердых тел Для идеального газа из молекулярно-кинетической теории можно получить выражение:

коэффициент теплопроводности для идеального газа

с_V - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме

Коэффициенты D,  и  носят общее название коэффициентов переноса и могут быть найдены из опыта с использованием уравнений переноса. А так как в выражения для этих коэффициентов входят микропараметры молекул газа

(, d _эфф ), то, зная D,  и , можно получить ценные сведения о молекулах.

Следует учитывать, что формулы для коэффициентов переноса получены в предположении, что газ – идеальный, поэтому их следует рассматривать только, как приближенные.

Несмотря на то, что скорости молекул огромны – сотни и тысячи метров в секунду, процессы переноса происходят медленно. Это известно из повседневного опыта, связанного с обогревательными устройствами. Объясняется это тем, что с огромной скоростью молекула движется от одного столкновения до другого, после столкновения направление ее движения меняется, вплоть до противоположного. Путь молекулы – ломаная линия. Поэтому продвигается молекула по объему в целом медленно.

Молекулярно0кинетическая теория хорошо объясняет многие явления в газах в тех случаях, когда газы по своим свойствам близки к идеальным, т.е. размеры их молекул малы и между молекулами очень слабое взаимодействие. В тех случаях, когда взаимодействием молекул пренебречь нельзя, результаты, получаемые из МКТ, значительно хуже соответствуют опытным фактам, поскольку учесть это взаимодействие очень трудно.