55.Статистична і кореляційна залежність. Функції та лінії регресії.

Показником, що вимірює стохастичний зв’язок між змінними, є коефіцієнт кореляції, який свідчить з певною мірою ймовірності, наскільки зв’язок між змінними близький до строгої лінійної залежності.

За наявності кореляційного зв’язку між змінними необхідно виявити його форму функціональної залежності (лінійна чи нелінійна), а саме: ;

;

Наведені можливі залежності між змінними X і Y називають функціями регресії. Форму зв’язку між змінними X і Y можна встановити, застосовуючи кореляційні поля, які зображені на рисунках

Для двовимірного статистичного розподілу вибірки ознак (Х, Y) поняття статистичної залежності між ознаками Х та Y має таке визначення:

статистичною залежністю Х від Y називають таку, за якої при зміні значень ознаки Y = yi змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Х, статистичною залежністю ознаки Y від Х називають таку, за якої зі зміною значень ознаки X = xi змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Y.

Між ознаками Х та Y може існувати статистична залежність і за відсутності кореляційної. Але коли існує кореляційна залежність між ознаками Х та Y, то обов’язково між ними існуватиме і статистична залежність.

56. Вибіркові рівняння регресії.

За оцінки умовних математичних сподівань приймають умовні середні, які обчислюють за даними вибірки. Умовним середнім називають середнє арифметичне спостережуваних значень , відповідних . Наприклад, якщо при величина прийняла значення =3, =7, =9, =17, то умовне середнє = Аналогічно умовним середнім називають середнє арифметичне спостережуваних значень , відповідних .

При вивченні умовних законів розподілу нами були введені поняття умовного математичного сподівання , яке є функцією від , тобто розглядали рівняння регресії на

=

і аналогічно рівняння регресії на = .

Оцінкою умовного математичниго сподівання є умовне середнє , яке є функцією від

: = . Таке рівняння називають вибірковим рівнянням регресії на ; саму функцію називають вибірковою регресією на , а її графік – вибірковою лінією регресії на . Те ж стосується і рівняння = . Припустимо, що вигляд функцій і відомий. Виникає питання, як за даними вибірки обчислити параметри цих функцій, оцінити тісносту зв’язку між та і вияснити , чи вони корельовані.

57.Пряма лінія регресії Знайдемо параметри вибіркового рівняння прямої лінії регресії. Нехай в результаті проведених дослідів над системою ( ) отримано пар чисел , , …., . За цими даними знайдемо вибіркове рівняння прямої лінії регресії на

= (1) Кутовий коефіцієнт цієї прямої називають вибірковим коефіцієнтом регресії на , він є оцінкою коефіцієнта регресії генеральної сукупності . Припустимо, що різні значення та спостерігались в досліді по одному разу, тоді немає необхідності використовувати поняття умовного середнього , і рівняння (1) запишемо

= (2)

Підберемо параметри і таким чином, щоб точки , …., , побудовані за даними вибірки, лежали якомога ближче до прямої (2). Роз’яснимо цю вимогу. Назвемо відхиленням різницю , де - ордината, обчислена за рівнянням (2), - спостережувана ордината, причому обидві вони відповідають деякому значенню . Параметри і підберемо так, щоб сума квадратів відхилень була мінімальною .

В цьому і полягає суть методу найменших квадратів. Оскільки кожне відхилення залежить від параметрів і , то і сума квадратів цих відхилень буде деякою функцією цих параметрів, тобто , або (3)

Для знаходження мінімуму функції (3) знайдемо частинні похідні по і

=2 ; =2 .

Прирівнявши до нуля кожний з отриманих виразів, отримаємо систему двох лінійних рівнянь відносно і

+ - =0

- + =0

Звідки = - , (4)

= , (5)

де = , = - вибіркові середні, = - - вибіркова дисперсія величини .

З формули (5) отримаємо вираз для вибіркового коефіцієнта кореляції

= = (6)

Таким чином, вибіркове рівняння прямої лінії регресії на має вигляд

- = ( ). (7)

Аналогічно знаходимо вибіркове рівняння прямої лінії регресії на

- = ( ). (8)

де = - - вибіркова дисперсія величини .

Припустимо тепер, що отримана велика кількість дослідних даних ( ) і серед них є такі, що повторюються. Згрупуємо ці дані у вигляді кореляційної таблиці, побудова якої ілюструється нижче(табл. 1)

Таблиця 1.

	1	2	3	4
7	5	-	7	14	26
8	-	2	6	4	12
9	3	19	-	-	22
	8	21	13	18

Тут прийнято, що значення варіанти спостерігалось разів, значення варіанти - разів, значення пари варіант - разів. = = - обсягу вибірки.

В цьому випадку формула для вибіркового коефіцієнта кореляції має вигляд = (9)

а вибіркове рівняння прямої лінії регресії на - = ( ), (10)

де вибіркові середні = , = .

Вибірковий коефіцієнт кореляції є точковою оцінкою коефіцієнта кореляції двовимірної генеральної сукупності і служить для виміру лінійного зв’язку між величинами та .

Інтервальна оцінка коефіцієнта кореляції двовимірної нормально розподіленої генеральної сукупності дається формулою