11. Граничні теореми у схемі випробувань бернулі.А)пуассона.Б) Локальну та інтегральну Лапласа.

Пуассона:якщо при проведенні випробувань за схемою Бернулі число випробовувань достатньо велике(прямує до нескінченності) а імовірність р достатньо мала(прямує до нуля) то з формули бернулі можна вивести формулу Пуассона.P(x)=(xk/k)*e-£. £=m*p. Локальна Лапласа:Якщо при проведенні випробовувань за схемою Бернулі число випробовувань достатньо велике, а імовірність суттєво відрізняється від 0 та 1, то має місце лок лапласа.Pn(k)=(1/√npq)*φ(x). φ(x)=(1/√(2π))*e^-x2/2. x'=knp/√npqПриклад:імовірність помилки в митній справі=0,2Знайти імовірністьт того що в 400 оформленнях помилок буде 100.Р=0,2. n=400 k=100: √npq=√400*0,2*0,8=8, x'=(100-400-0,2)/8=2,5. φ(2,5)=0,175, Р400100 =0,0175/8. Інтегральна Лапласа:Я якщо при проведенні випробувань за схемою Бернулі число випробовувань достатньо велике(прямує до нескінченності) а імовірність суттєво відрізняється від 0 та 1,То імовірність того, що наша подія настане: Pn(k1<=k0<=k2)=Ф(x2)- Ф(x1)=(k1-np)/ √npq. Ф(x)=∫0x φ(t)dt-інтегральна лапласа. φ(t)-локальна лапласа.

12. Дати означення випадкової величини (в.В.), дискретної (д.В.В.) та неперервної випадкової величини (н.В.В.). Навести приклади.

Випадковою величиною називають таку величину, яка в наслідок випробування, може прийняти лише одне числове значення, заздалегідь невідоме і обумовлене випадковими причинами.

Випадкові величини бувають дискретними та непевними.

Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може приймати відокремлені ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати) з відповідними ймовірностями. Наприклад, кількість влучень у мішень при трьох пострілах буде Х: 0, 1, 2, 3. Отже, Х може приймати чотири ізольовані числові значення з різними ймовірностями. Тому Х — дискретна випадкова величина.

Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають величину, яка може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченного або нескінченного інтервалу (a, b). Кількість можливих значень такої величини є нескінченна.

Наприклад, величина похибки, яка може бути при вимірюванні відстані; час безвідмовної роботи приладу; зріст людини; розміри деталі, яку виготовляє станок-автомат.

13. Дати означення ф-ціїї розподілу двовимірної вв. Основні властивості ф-ції розподілу, її геометричний зміст.

Ф-цією розпділу двв (Х,У) називають ф-цію 2-х змінних F(х,у), яка визначає для кожної пари чисел (Х,У) імовірність виконання нерівностей X<x; Y<y, тобто F(x,y)=P(X<x; Y<y).

Аналогічно визначають ф-цію розподілу n вв: F(х1,х2,…,xn)= P(X<x; Y<y,…, Xn<xn)

Властивості:

0≤ F(x,y)≤1;

F(х,у)не спаднка ф-ція за кожним аргументом, тобто F(x2,y)≥ F(x1,y), якщо x2> x1; F(x,y2) >F(x,y1), якщо у2> у1;

Мають місце граничні співвідношення: F(-∞ ,y)=0; F(x1,∞-)=0; F(∞,∞)=1;

Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)}

Геометричний зміст ф-ї розподілу F(х,у) – це імовірність того, що випадкова точка М(Х,У), попаде у нескінченний прямокутник з вершиною в т.(Х,У) і розміщений нижче та лівіше цієї вершини М(Х,У)

14. Дати означення основних числових характеристик в.в.: а) математичного сподівання; б) дисперсії; в) початкового та центрального моментів; г) асиметрії; д) ексцесу; е) моди; ж) медіани. Записати формулу для їх обчислення для д.в.в. та н.в.в.. Пояснити зміст букв, навести приклади.

Математичним сподівання Х називають число, яке дорівнює сумі добутків можливих значень Х на відповідні їм імовірності.

М(Х) або mX —математичне сподівання ДВВ.