7.9.Гармонический осциллятор в квантовой механике.

Линейным гармоническим осциллятором в классической механике называется система, совершающая колебательное периодическое движение под действием квазиупругой силы около положения устойчивого равновесия, описываемое уравнением вида . Данная система является моделью, используемой при описании классических и квантовых систем. Пружинный, физический и математический маятники – примеры классических гармонических осцилляторов.

Согласно классической механике одномерный осциллятор совершает гармонические колебания с циклической частотой , где k – постоянная квазиупругой силы. Поэтому потенциальная энергия одномерного гармонического осциллятора может быть определена как парабола .

Классический осциллятор не может выйти за пределы потенциальной «ямы» с координатами , где – координаты точек поворота, в которых E=U . Частица может двигаться только в области, где , т. е. между точками поворота. В квантовой теории задача о квантовом гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы массой m в параболической потенциальной яме. Уравнение Шрёдингера для одномерного квантового осциллятора, для которого потенциальная энергия имеет вид, записывается так: , где Е – полная энергия осциллятора. В уравнении имеет смысл циклической частоты классического одномерного осциллятора. Собственные значения энергии для этого уравнения, как можно доказать, равны

Таким образом, энергия квантового осциллятора в отличие от классического не может быть произвольной, а квантуется (может иметь лишь дискретные значения). Разность энергии между соседними уровнями определяется как дельта .

Следовательно, уровни энергии квантового осциллятора расположены через равные интервалы и называются эквидистантными.

Минимальная энергия квантового осциллятора лежит выше минимума потенциальной энергии U = 0 . Неравенство нулю осциллятора – типично квантовый эффект – прямое следствие соотношения неопределенностей. Наличие нулевой энергии подтверждается экспериментально.

Следовательно, энергия гармонического осциллятора в излучательных процессах может изменяться только порциями : гармонический осциллятор испускает и поглощает энергию квантами.

Решения уравнения таковы, что имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу за пределами области , т. е. в классически запрещенной области, где E <U . Существование отличных от нуля значений за пределами потенциальной «ямы» объясняется волновыми свойствами микрочастиц.

Отметим, что рассмотренная модель гармонического осциллятора и связанная с ним задача о движении частицы в параболической потенциальной «яме» является идеализацией, которая справедлива только при малых отклонениях колеблющейся частицы от положения равновесия. В реальных системах потенциальная энергия U частицы, совершающей колебания около положения равновесия, имеет более сложный вид. При возрастании амплитуды колебаний движение частицы будет все больше усложняться, отличаясь от гармонических колебаний. Такое движение называют ангармоническим движением, а соответствующий осциллятор – ангармоническим осциллятором.