7.10. Прохождение частицы через одномерный потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Если поместить частицу в потенциальную «яму» с конечной высотой стенок, то с точки зрения законов классической физики она может выйти из этой «ямы» лишь при условии, что ее полная энергия превышает глубину потенциальной «ямы». Иначе, частица, находящаяся внутри потенциальной «ямы», «заперта» в ней.

В квантовой механике существует принципиальная возможность прохождения («просачивания») частиц сквозь потенциальные барьеры. Это явление называется туннельным эффектом. Туннельный эффект возможен, когда линейные размеры потенциального барьера соизмеримы с атомными размерами. Для его описания вводится понятие коэффициента прозрачности (пропускания) D потенциального барьера: , где и – соответственно интенсивность волны де Бройля, падающей на барьер, и плотность потока частиц, падающих на барьер; и – соответственно интенсивность де-бройлевской волны, прошедшей барьер, и плотность потока частиц, прошедших барьер. Коэффициент прозрачности D можно рассматривать как вероятность преодоления частицы потенциального барьера. Из обратимости по времени следует, что для переходов в «прямом» и «обратном» направлениях коэффициенты прозрачности одинаковы.

Аналогично можно определить коэффициент отражения барьера R как вероятность того, что поток частиц (частица) отразится от барьера: , где и – соответственно интенсивность волны де Бройля, отразившейся от барьера, и плотность потока частиц, отразившихся от барьера и полетевших в обратном направлении. Расчеты показывают, что прозрачность барьера зависит от его «формы» и высоты.

Таким образом, согласно определению, R + D =1. Кроме того, значения R и D не зависят от направления движения частицы.

Существуют два простейших варианта одномерных потенциальных барьеров – прямоугольный потенциальный барьер в виде ступеньки, когда потенциальная энергия U при х = 0 скачком изменяется на конечную величину , а также потенциальный барьер прямоугольной формы высотой и шириной . Потенциальная энергия определяется соответственно так:

а) б)

7.11.Теория Бора для атома водорода. Экспериментальное подтверждение постулатов Бора. Опыт Франка и Герца.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний):

существуют определенные дискретные стационарные состояния атома, находясь в которых, он не излучает энергию. Каждое стационарное состояние характеризуется определенным значением энергии. Из одного состояния в другое атом может переходить путем квантового перехода.

Правило квантования орбит Бора утверждает, что в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по орбите, должен иметь квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие для круговых орбит условию , где – масса электрона; – его скорость на п-й орбите радиусом .

Второй постулат Бора (правило частот):

излучение происходит только при переходе атома из одного стационарного состояния с большей энергией в другое стационарное состояние с меньшей энергией . Такой переход сопровождается испусканием электромагнитного излучения с энергией

, равной разности энергий соответствующих стационарных состояний. Возможен и обратный процесс, в котором атом переходит из одного стационарного состояния в другое, более высокое. При этом атом поглощает фотон с энергией, равной разности энергий этих стационарных состояний. Набор всевозможных дискретных частот квантовых переходов ω, определяемых из правила, описывает линейчатый спектр атома.

Дж. Франк и Г. Герц (Нобелевская премия, 1925) поставили эксперимент по измерению потенциалов ионизации атомов ртути, используя электродную лампу с четырьмя электродами, заполненную парами ртути. Исследовалась зависимость анодного тока I от ускоряющего напряжения U. На анод попадали только те электроны, энергия которых после соударения с атомами паров ртути в области – была достаточна для преодоления замедляющего напряжения ( В). Было получено, что величина тока резко падала при увеличении значения U через каждые 4,9 В. Франк и Герц установили, что спектр поглощаемой атомом ртути энергии не непрерывен, а дискретен. Минимальная порция энергии (квант энергии), который может поглотить атом ртути, равна 4,9 эВ. Обнаруженное ультрафиолетовое излучение с длиной волны l = 253,7 нм соответствует второму постулату Бора. Результаты этого опыты впервые доказали постулаты Бора.

Боровская модель атома. С помощью правила квантования для атома водорода можно получить выражение для радиуса n-й стационарной орбиты, по которой движется электрон – классическая точечная частица – под действием кулоновской силы притяжения вокруг ядра: , где Z – количество протонов в ядре; – масса электрона; – радиус первой боровской орбиты (боровский радиус) (для атома водорода Z = 1 и м): .

Э нергия стационарных состояний электрона в атоме водорода и водородоподобной системе на n-й стационарной орбите ( n =1, 2, 3, ...) определяется как полная энергия электрона в кулоновском поле ядра: , где целое число п – главное квантовое число; – энергия основного состояния атома (п = 1). Знак минус в формуле означает, что электрон находится в связанном состоянии.