37 Вопрос
Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:
Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:
Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.
38 Вопрос
Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
Условием независимости интегрирования от пути интегрирования будут:
1.
2. .
3. Существование потенциала , .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть есть две точки и их соединяют два пути MAN, MBN (смотри рисунок.).
Пусть выполнено условие 1, тогда
Что и доказывает независимость интеграла от линии интегрирования .
Пусть выполняется условие 2. Из формулы Грина для любой конечной области в этом случае вытекает ,
так как .
Откуда следует условие 1.
Пусть выполняется условие 3. В этом случае выполняется условие 2, а, значит, и 1.
39 Вопрос
Фото
40 Вопрос
Поверхностный интеграл первого рода
Определение
Пусть ф — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на ф задана функция . Рассмотрим разбиение Т этой поверхности на части кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку . Вычислив значение функции в этой точке и, приняв за — площадь поверхности рассмотрим сумму .
Тогда число называется пределом сумм , если:
Предел сумм при называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается следующим образом:
Параметрическая форма
Пусть на поверхности Ф можно ввести единую параметризацию посредством функций
заданных в ограниченной замкнутой области плоскости и принадлежащих классу в этой области. Если функция непрерывна на поверхности Ф , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности Ф существует и может быть вычислен по формуле:
, где:
Свойства
Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности.
1 Линейность: ;
2 Аддитивность: ;
3 Монотонность:
если , то
для если , то
4 Теорема о среднем для непрерывной функции и замкнутой ограниченной поверхности :
41 Вопрос
Пример вычисления поверхностного интеграла первого рода
Вычислить поверхностный интеграл
,
где σ — треугольная площадка с вершинами (1, 0, 0); (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Направление нормали выбрано таким, что оно образует острый угол с осью Оz (смотри рисунок.).
В соответствии с выше выведенными формулами, имеем
Из уравнения плоскости x + y + z = 1 находим z = 1 − x − y, и . Подставив эти выражения в интеграл, получим
.