2. Основнi властивостi дпф:

1. ДПФ є лінійним перетворенням, тобто ДПФ суми сигналiв є сума коефiцiентiв ДПФ кожного з них, а змiна амплiтуд сигналу в М-разiв викликає таку ж змiну вiдповiдних коефiцiєнтiв С(n).

2. Кiлькiсть рiзних коефiцiєнтiв С(0),...,С(N-1) визначається кiлькiстю вiдлікiв N (якщо n=N, то С(n)=C(0), тобто сигнали i спектри перiодично повторюються).

3. Коефiцiєнт С(0) (нульова гармонiка, яка визначає постiйну складову є середнiм значенням всiх вiдлiкiв.

(9)

4. Якщо кiлькicть вiдлiкiв N - парне число, то

(10)

Якщо значення вiдлiкiв x_k- дiйснi числа, то коефiцiенти ДПФ, номери яких симетричнi вiдносно N/2 утворюють комплекснi спряженi пари

(11)

Тому можна вважати, що коефiцiенти С(N/2+1),...C(N-1) вiдповiдають вiд'ємним частотам.

2.3. Вiдновлення початкового сигналу по коефіцієнтах дпф.

Якщо на основi заданих вiдлiкiв знайденi коефiцiєнти ДПФ (С(0),...,С(N/2)), то по цих коефiцiєнтах завжди можна вiдновити початковий сигнал Хд(t), або дискретизований сигнал X(t). Для такого сигналу ряд Фур'є записується скiнченою сумою

(12)

де: │С_i│ - модуль амплiтуди вiдповiдної гармонiки, а _i - її фаза.

3. Зворотнє перетворення Фур'є.

Нехай коефiцiенти С_n, що утворюють ДПФ, заданi. Якщо у формулi (2) t = k*d i сумується скiнченна кiлькiсть членiв ряду, якi вiдповiдають iснуючим гармонiкам у спектрi сигналу, то отримуємо таку формулу для обчислення значень вiдлiкiв

(13)

Ця формула є зворотнiм дискретним перетворенням Фур'е (ЗДПФ). Формула прямого (2) та зворотнього (13) дискретного перетворення Фур'є є дискретними аналогами пари перетворень Фур'є для неперервного сигналу.

5. Контрольні запитання

1. Як визначаються складові дискретного чи дискретизованого сигналу ?

2. Перечисліть і проілюструйте основні властивості ДПФ.

3. Проілюструйте на прикладі відновлення сигналу по відомих спектральних складових.

4. Охарактеризуйте вплив спектральних складових на форму сигналу.

5. Як впливає кількість відліків на точність представлення дискретизованого сигналу?

6. Лабораторне завдання

1. Напишіть програму (чи вручну за допомогою текстового редактора) згенеруйте N значень відліків для дискретного представлення таких функцій:

- симетричний прямокутний імпульс (меандр);

- несиметричний прямокутний імпульс тривалістю t1=n*T/N та t2=T-n*Т/N (n - номер студента в групі);

- симетричний трикутний імпульс тривалістю Т;

- пилоподібній імпульс тривалістю T;

- два пилоподібних імпульси тривалістю Т/2;

- пачку з 10 прямокутних імпульсів (меандр) тривалістю T/20.

Амплітуда імпульсів рівна 1.0, період Т=2.0, кількість відліків N=200 (для відліків заданих вручну N=20).

Зразки сигналів для проведення спектрального аналізу

Симетричний прямокутний імпульс (меандр)

Несиметричний прямокутний імпульс

Симетричний трикутний імпульс

Пилоподібний імпульс

Два пилоподібні імпульси

Пачка з десяти прямокутних імпульсів (меандр)

Сигнал стандарту RS-232 C

Манчестерське кодування

2. За допомогою програми дискретного перетворення Фур'є визначіть спектри вказаних імпульсів. На основі отриманих спектрів зробіть висновки про форму огинаючої спектральних складових та вплив форми імпульсів на ширину спектру.

2. Користуючись реалізованою у програмі можливістю відсікати високочастотні складові спектру, на основі аналізу форми відновлених імпульсів зробіть висновки про практичну ширину спектру для кожного з них. Графіки спектрів, а також заданих та відновленіх функцій виведіть на друк.

3. Згенеруйте 10 відліків (N=10) для пилоподібного імпульсу з амплітудою 1.0 та періодом 2.0. Отримайте спектр цього сигналу і відновіть сигнал по отриманих спектральних складових. Згенеровані відліки, значення спектральних складових та значення відновленого сигналу виведіть на друк. Для згенерованих значень відліків напишіть формулу, підставте значення і вручну обчисліть амплітуду та фазу першої гармоніки. Порівняйте отримане значення з обчисленим програмою. На основі програмно обчислених значень спектральних складових вручну відновіть значення функції у точці третього відліку. Формули з підставленими значеннями та результатами обчислень приведіть у звіті.

4. Взявши за основу файл значень відліків для пачки з 10 прямокутних імпульсів, вручну (за допомогою програми Norton Commander) зформуйте послідовність імпульсів для передачі байта у стандарті послідовного інтерфейсу: перший біт (стартовий) - рівний одиниці, наступні вісім (інформаційні) задають значення байта (номер студента у групі заданий двома тетрадами) десятий біт (стоповий) - завжди рівний нулю. Кожен біт описується двадцятьма відліками. Програмою спектрального аналізу визначіть спектр згенерованоного сигналу, дослідіть вплив урізання високочастотних складових на форму відновленого сигналу, зробіть висновки щодо вимог до смуги пропускання каналу зв'язку. Отримані графіки виведіть на друк.

5. На основі значень відліків, отриманих в пункті 5, сформуйте відліки для послідовності імпульсів з використанням манчестерського кодування (одиниця кодується переходом 1/0 посередині імпульсу, а нуль кодується переходом 0/1). Знайдіть спектр отриманого сигналу, дослідіть вплив високочастотних складових на форму відновленого сигналу, обгрунтуйте вимоги до частотних характеристик каналу зв'язку. Графіки виведіть на друк.