Вопрос 68 Уравнение прямой в пространстве.

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0                                      

 задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представление уравнением которое называется уравнением плоскости. Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;              (3.2)

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ;                                       (3.3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.      Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде  x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+33+D = 0  D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Вопрос 69 Цилиндрические поверхности. Цилиндрические поверхности

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей  , если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей  , целиком принадлежит поверхности S.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:

Параболический цилиндр:

Гиперболический цилиндр:

Вопрос 70 Поверхности вращения. Поверхности вращения

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M₀(x₀,y₀,z₀) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z = z₀ с центром в (0,0,z₀) и радиусом  , целиком принадлежит этой поверхности.

В случае, если  , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

71. Конические поверхности

Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точкиM₀ этой поверхности прямая, проходящая через M₀ и O, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция F(x,y,z) называется однородной порядка m, если   выполняется следующее: 

Теорема (об уравнении конической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка.

Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

61