7. Лемма Огдена (о разрастании) для конечно-автоматных языков. Пример языка, не являющегося конечно-автоматным.

Пусть L – конечно-автоматный язык. Тогда такая константа , что слово языка , которое имеет длину , можно представить в виде конкатенации 3-х слов: , где и для ,слово .

Доказательство.

Пусть такой язык L и константа p, что условия леммы выполняются. Т. к. язык L – конечно автоматный, то конечный автомат, который его распознаёт. Пусть у него N состояний. Возьмём p=N. Рассмотрим слово , :

Запишем для автомата последовательность конфигураций при чтении слова :

В этой последовательности содержится не менее чем p+1 =N+1состояний. Среди них найдутся 2 одинаковых.

Две конфигурации:

- прочитанные части слова .

.

y-префикс слова , , .

Подадим на вход автомату слово, полученное выбрасыванием слова y из , т. е. слово xz. Тогда читая x, автомат перейдёт в :

.

значит , т. е. выполняется условие леммы при i=0, т. е. .

Подадим на вход слово , . Тогда цепочка конфигураций:

,

,

, пока не прочитаем все y.

Значит ,i>1.

При i=1 справедлива, значит -исходное слово. Ч. т. д.

Лемма используется для доказательства того, что язык нельзя представить в виде конечного автомата.

Пример:

От противного. Пусть L- конечно-автоматный. Тогда по Лемме , что .

, значит , где

.

Рассмотрим случаи для y:

1)

Пусть i=2, по лемме .

При этом число букв a в увеличится по сравнению с , а число букв b не увеличится. Значит

2) аналогично 1) случаю.

3)

Рассмотрим ,

-Чередование a и b. Значит . L- не конечно-автоматный.

8. Правила построения регулярных выражений. Теорема Клини о совпадении классов конечно-автоматных и регулярных языков.

Регулярные выражения.

-алфавит.

Опр. Регулярное выражение R:

1) -рег. выр.

2) -рег. выр.

3) -рег. выр.

4)если -рег. выр, то

а) -рег. выр.

б) -рег. выр.

в) -рег. выр.

Пример:

= .

Регулярное выражение задаёт мн-во слов, т. е. язык. Каждому рег. выр. сопоставляется язык L(R).

Правила построения языка по Рег Выр:

1)

2)

3) ,

4)если и - языки, построенные по рег. выр. , то

а)

б)

в)

Опр. Языки, определямые рег. выр-ями, называются регулярными языками.

Пример:

1) -слова начинаются и заканчиваются на а.

2) -слова чётной длины.

соответствие между множествами не взаимнооднозначно. Каждому р-выражению соответствует один язык. Языку могут соответствовать несколько выражений.

Выражению: соответствуют слова чётной длины.

Теорема (Клини):

Класс регулярных языков совпадает с классом конечно-автоматных языков.

9. Алгоритм анализа конечного автомата.

Задача анализа конечного автомата заключается в построении по конечному автомату регулярного выражения.

Теорема анализа:

Для любого конечного автомата M язык L(M) – регулярный.

Доказательство: (конструктивный алгоритм д-ва Мак-Ноттона-Ямады)

1)

L(M) – конечно-автоматный язык.

2) Пусть

Рассмотрим язык , -мн-во индексов состояний.

3) - мн-во слов из , переводящих автомат из состояния в , причем в качестве промежуточных состояний встречаются только состояния из мн-ва .

Наша задача получить РВ для L(H).

4) . Ф – мн-во номеров заключительных состояний.

должны уметь строить для любых i, j.

5) 1. Пути длины 1

-

а) - РВ.

б) нет ребра Ǿ

-

а) .

б) .

Должны выписать

2. должны уметь строить для любых

- k=0

, где - слова при переходе из в непосредственно. - слова при переходе через начальную вершину (в может быть петля).

i=0

j=0

i=j=0

-

i=k

k=j

Теорема Клини:

Класс регулярных языков совпадает с классом конечно-автоматных языков.