SyllabusTV

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования "Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского"

Радиофизический факультет

Кафедра математики

ПАМЯТКА СТУДЕНТУ

по курсу

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

(курс 4-го семестра)

Весенний семестр 2013

Письмо студентам

Курс Теории вероятностей и математической статистики стоит особняком среди математических курсов, изучаемых на Радиофизическом факультете. Все остальные курсы, которые вы уже изучили, формируются вокруг идей, связанных с математическим анализом и векторной и линейной алгеброй. Особенность курса Теории вероятностей состоит в том, что он основан на новых независимых от предыдущих курсов понятиях и аксиомах. Однако, несмотря на аксиоматическую абстрактность, этот курс в большей степени, чем остальные, имеет прикладной характер. Изучение курса Теории вероятностей должно привить и воспитать в сознании студентов вероятностно-корреляционное мышление, необходимое для радиофизических и информационный дисциплин. Теория вероятностей откроет вам дверь в дальнейшее изучение дисциплин на Радиофизическом факультете. Этот курс не является простым. Но я надеюсь, что он вам понравится.

Цель курса. Курс Теории вероятностей и математической статистики (в дальнейшем коротко Теории вероятностей) призван продолжить изучение основ высшей математики студентами радиофизического факультета.

Краткое содержание курса. Элементы комбинаторики. Схемы шансов. Алгебры событий. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятностей. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Случайные величины. Функция распределения и плотность вероятности случайной величины. Закон больших чисел. Характеристические функции. Центральная предельная теорема.

Итоговые требования. Студенты должны овладеть методами теории вероятностей, приобрести навыки решения практических задач и уметь доказывать теоремы.

Оценка знаний. Оценка на экзамене является интегральной и включает в себя: оценки за выполнение домашних работ, оценок за контрольные работы и оценки за ответ на экзамене. См. также ПРИЛОЖЕНИЕ, п.9 Критерий оценок, стр. 9 ниже.

2

Указания для успешного освоения

курса Теории вероятностей

Курс Теории вероятностей — один из важнейших курсов математического образования, который покрывает большое количество материала с достаточно большой, но приемлемой скоростью изложения. Он также является одним из базисных курсов университетской математики, который необходим для развития кумулятивных знаний при получении образования по специальностям "Радиофизика" , "ИБТС" и "ФИиИТ". Короче, это курс типичный для начального уровня университетского образования. Если вы отнесётесь к нему серьёзно, то изучение этого курса не составит большого труда. Если, однако, вы не будете следовать описанным ниже стратегиям, то у вас возникнут естественные трудности по окончании курса, а также при дальнейшем изучении физических курсов на нашем факультете. В этом смысле курс Теории вероятностей является неотъемлемым вкладом в ваше будущее. Вам необходимо знать материал и хранить его в памяти от начала и до конца. Ниже приведены указания, которым вы должны следовать при изучении курса. Я буду рад обсудить с вами любые вопросы, возникающие у вас при изучении этого курса.

1.Читайте лекции и рекомендованную литературу. Я советую вам просматривать соответствующие параграфы в учебниках перед лекцией, чтобы иметь хотя бы самые общие представления о предмете. Даже если вы не понимаете что-то, прочитанное может подвигнуть вас задать мне вопросы в течение лекции. После лекции в тот же день внимательно прочтите написанное, потратив время на на запоминание формул, определений и теорем. После этого можно приступать к домашним работам по данной теме.

2.Не пропускайте занятий. Не следует ожидать, что всё будет хорошо, если вы не будете посещать каждую лекцию. Как ещё вы сможете узнать, чему на лекции было придано особое значение, какие идеи были главными? Зачем рисковать и пропускать объяснения, услышав которые что-то для вас станет ясным и понятным? Меня всегда удивляют те студенты, которые могут пропустить несколько лекций и при этом не имеют отставания в изучении.

Явстречал таких студентов, но такие студенты встречаются крайне редко. Если бы я был студентом, я бы очень расстроился пропустив одну лекцию и был бы в состоянии близком к паническому, если б пропустил две. НЕ ПРОПУСКАЙТЕ ЗАНЯТИЙ — вот наилучший совет, который я могу дать вам!

3.Аккуратно делайте конспекты. Будьте уверены, что вы выделили главное. Если необходимо, я несколько раз повторю для вас главное с разных точек зрения. Аккуратно выполняйте рисунки, таблицы и схемы. Выделяйте трудные места в доказательствах и решениях. Задавайте вопросы!

3

4.Просмотрите ваш конспект через пару дней. Попробуйте сравнить то, что было сказано на лекции с тем, что вы читаете. Выучите формулы, определения и теоремы вечером после лекции. Просмотрите главные идеи в решении и попробуйте обобщить их до метода подобных решений. Заметьте, что при просмотре конспекта зачастую материал становится более понятным! Поговорите со мной перед тем, как вы окончательно запутаетесь!!!

5.Обсуждайте пройденное с товарищами по курсу. Совместное обсуждение может стать прекрасным способом изучения предмета. Ваши друзья могут быть способны объяснить трудные места словами, которые позволят вам лучше понять. Объясняя материал другим студентам, вы укрепите свои собственные знания.

6.Анализируйте каждую контрольную работу. Контрольные работы являются состав-ной частью процесса обучения. Не выкидывайте её в сердцах после просмотра полученной оценки. Проанализируйте её ещё раз. Почему вы допустили эту ошибку? Что вы сделали правильно, а что неправильно? Показала ли контрольная работа слабые места в вашей подготовке? Не обнаружились ли в вашей работе какие-либо огрехи? Если вам что-то не ясно, подойдите ко мне, и мы всё обсудим. Не для повышения оценки, а для обсуждения того, как вам следовало решить лучше. Я не волшебник, но

ямогу помочь вам проанализировать ваш метод решения. Потратьте время сейчас, чтобы понять материал — непонимание может обернуться неприятностью на экзамене, или в другой части нашего курса или другого курса.

7.Помните! Вы добьётесь успехов в изучении (любого) курса, если будете следовать этим указаниям!

Обязанности студентов

1.В течение семестра студент обязан делать домашние задания, каждое из которых будет состоять из 10 - 15 задач.

2.Возможны самостоятельные работы (в последние 10 - 15 минут пары), состоящие из 2 домашних задач. Самостоятельные работы не объявляются заранее.

3.Две контрольные работы (по 90 минут) будут состоять из 5 задач и объявляются заранее в плане практических занятий (см. ниже ). Если вы опоздаете вы должны закончить работу вместе со всеми. Если вы не можете прийти на контрольную медицинским, семейным или причинам личного характера, вы должны проинформировать меня заблаговременно и предоставить соответствующий документ, который подтверждает причину вашего отсутствия. Если я сочту причину вашего отсутствия достаточно обоснованной, вы будете писать контрольную в другое время по договорённости.

4

4.Консультации и экзамены по Векторному и тензорному анализу состоится в январе 2013 года по расписанию, представленному деканатом в конце семестра. По традиции консультации начинаются в 16:00, а экзамены в 8:30.

5.Окончательная оценка ставится примерно так, как описано в пункте Оценка знаний. Пожалуйста заметьте, что никто не вправе ожидать какихлибо персональных поблажек. Все должны учиться и сдавать экзамены на равных правах. Ваши усилия должны быть направлены исключительно на подготовку домашних, самостоятельных, контрольных работ и на подготовку

кэкзамену.

6.Посещение занятий является главной обязанностью студентов радиофизического факультета. Опыт показывает, что оценка на экзамене является очень точным индикатором посещения занятий. Важно не только ваше физическое присутствие в классе, но и ваше ментальное присутствие. Также важно, чтобы на лекциях и практических занятиях царила атмосфера, способствующая процессу получения знаний для каждого студента.

7.Академическая порядочность. Студенты РФФ обязаны придерживаться высоких стандартов порядочности и честности. Списывание и получение посторонней помощи во время самостоятельных, контрольных работ и во время экзамена является одним из видов мошенничества и поэтому не допустимо. Такие проступки могут проявляться в разных формах: подглядывание в чужую тетрадку, использование шпаргалок, давать списывать другим, сообщение ответа другому лицу любыми способами, получение копий задач или их черновиков до контрольных и экзаменов и другие мошенничества. За такие проступки студенты удаляются из аудитории. Пересдача экзаменов осуществляется на общих основаниях. Другим видом мошенничества является плагиат, который состоит в том, что вы выдаёте работу, сделанную другими, за сваю собственную. Плагиат включает не только присвоение опубликованных материалы в открытой печати или в интернете, но и работу сделанную за вас вашими товарищами. В частности, ваши домашние работы вы должны делать сами. Другие примеры академической непорядочности могут состоять в умышленном представлении однокурсникам заведомо ложной информации, касающейся содержания курса и организации учебного процесса.

8.Корректность поведения во время занятий. По университетской традиции, существующей со средних веков, в начале лекции или практического занятия студенты приветствуют вошедшего преподавателя стоя. Студенты РФФ обязаны поддерживать в классе атмосферу продуктивного изучения предмета. Студентам запрещается пользоваться телефонами, делать оскорбительные замечания, читать постороннюю литературу, спать, зевать в голос и совершать другие неподобающие студентам РФФ поступки.

5

ПРИМЕРНЫЙ ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" Задачник: ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Составители: Гаврилин А.Т., Дубков А.А. Практикум. Нижний Новгород: ННГУ, 2010. - 35 стр.

Занятие 1. Вероятностное пространство. Классический и геометрический способы задания вероятностей. В классе: 1(a,c), 3, 6, 9, 14, 17, 21. Дома: 1(b,d), 5, 7, 12, 18, 20, 22.

Занятие 2. Независимость. Условная вероятность. В классе: 2, 4, 6, 11, 14, 20. Дома: 5, 7, 9, 12, 16*, 19, 22*.

Занятие 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний. В классе: 1, 3, 5, 10, 13, 18. Дома: 2, 6, 11, 15, 17*, 20*.

Занятие 4. Случайные величины. В классе: 1, 3, 6, 8(a,d), 9(b,c), 12. Дома: 2, 5, 8(b,c), 9(a,d), 10, 11*.

Занятие 5. Моментные характеристики случайных величин. В классе: 1, 3, 5, 12, 15, 19. Дома: 2, 4, 7, 9, 14, 18*.

Занятие 6. Случайный вектор. В классе: 1, 3, 7, 10, 15. Дома: 2, 5*, 8*, 12, 16, 18.

Занятие 7. Распределение функций от случайных величин. В классе: 2, 3, 5, 9, 11, 15. Дома: 1, 4, 7, 10, 16, 19*.

Занятие 8. Аппарат характеристических функций. Композиция законов распределения. В классе: 2, 4, 7, 9, 13, 15. Дома: 1, 3, 8, 10, 14, 16*.

Занятие 9. Предельные теоремы. В классе: 2, 4, 7, 9, 13. Дома: 1, 3, 8, 10.

6

Вопросы к экзамену по теории вероятностей

1.Теоремы об экспериментах без возвращения и с учётом порядка, без возвращения и без учёта порядка, с возвращением и с учётом порядка.

2.Теорема об эксперименте с возвращением и без учёта порядка.

3.Пространство элементарных событий, виды событий и операции над

ними.

4.Алгебра событий, σ-алгебра событий.

5.Множество Витали.

6.Лемма о пересечении счётного набора событий и её следствие.

7.Вероятность, вероятностное пространство и леммы о свойствах вероятности.

8.Статистическое и классическое определения вероятности.

9.Геометрическое определение вероятности. Задача Бюффона.

10.Парадокс Бертрана.

11.Условная вероятность, условное вероятностное пространство и теорема умножения.

12.Независимые события. Лемма о независимости противоположных событий. Независимые в совокупности события и тетраэдр Бернштейна.

13.Формула полной вероятности и формула Байеса.

14.Эксперимент, приведший к гипергеометрическому распределению и определение этого распределения.

15.Схема и формула Бернулли, биномиальное распределение.

16.Теорема о максимуме биномиальной функции распределения. Геометрическое распределение.

17.Схема независимых испытаний с несколькими исходами и теорема о вероятности в этой схеме.

18.Случайная величина, функция распределения и её свойства.

19.Теорема о счётности числа скачков. Теорема о связи вероятностей на интервалах с функцией распределения и её следствие.

20.Абсолютно непрерывные случайные величины, плотность вероятности и её свойства. Теорема о свойствах абсолютно непрерывных случайных величин.

21.Теорема о плотности вероятности функции от одной случайной вели-

чины.

22.Случайные векторы, функция совместного распределения и плотность вероятности. Лемма о независимости случайных величин.

23.Лемма о функции распределения функции двух случайных величин. Леммы о сумме, произведении и частного.

24.Лемма о свёртке.

25.Математическое ожидание и теорема о математическом ожидании функции от случайной величины.

7

26.Теорема о свойствах математического ожидания.

27.Дисперсия, лемма о её свойствах и теорема о вычислении.

28.Теорема о дисперсии суммы двух независимых случайных величин.

29.Ковариация, лемма о её свойствах и те-орема о диспресии линейной комбинации.

30.Коэффициент корреляции и теорема о его свойствах.

31.Нахождение коэффициента корреляции между выпадениями граней при подбрасывании тетраэдра (4), куба (6), октаэдра (8), додекаэдра (12) и икосаэдра (20).

32.Неравенство Маркова и его следствие.

33.Обобщённое неравенство Маркова. Неравенство Бьенеме-Чебышёва.

34.Последовательности случайных величин. Сходимости почти всюду, почти наверное, по вероятности и слабая сходимость.

35.Законы больших чисел. ЗБЧ в форме Чебышёва.

36.ЗБЧ в форме Хинчина и Бернулли.

37.Распределение Пуассона и предельная теорема Пуассона.

38.Локальная теорема Муавра и интегральная теорема Муавра-Лапласа.

39.Характеристическая функция и её свойства.

40.Леммы об n-ой производной характеристической функции и её разложении в ряд Тейлора.

41.Вычисление характеристических функций распределений Бернулли и Пуассона, биномиального и нормального распределений.

42.ЦПТ в классической форме и её следствие.

43.Сферическое нормальное распределение. Теоремы о плотностях вероятности χ- и χ2-распределений. Распределение Стьюдента.

44.Цепи Маркова и две теоремы о матрицах перехода. Дополнительные вопросы: дать определение или сформулировать теоре-

му.

8

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРОГРАММУ курса Теория вероятностей и математическая статистика можно найти на официальном сайте Радиофизического факультета ННГУ:

http://www.rf.unn.ru/rus/

>образовательные программы

>Реализуемые программы

>011800 Радиофизика, бакалавриат (третье поколение ФГОС ВПО)

>Б2.Б10. Теория вероятностей и математическая статистика

>RF_ B2_ B10_ Probab_ Theory.doc

В частности, в этой программе есть пункт 9. Критерии оценок, который мы приводим полностью.

9. Критерии оценок

Превосходно. Превосходная подготовка с очень незначительными погрешностями.

Отлично. Подготовка, уровень которой существенно выше среднего с некоторыми ошибками.

Очень хорошо. В целом хорошая подготовка с рядом заметных ошибок. Хорошо. Хорошая подготовка, но со значительными ошибками. Удовлетворительно. Подготовка, удовлетворяющая минимальным требо-

ваниям.

Неудовлетворительно. Необходима дополнительная подготовка для успешного прохождения испытания.

Плохо. Подготовка совершенно недостаточная.

9