- •1. Числ ряды
- •2.Действия над рядами Св-ва
- •3. Необх признак сх
- •6. Ряды с неотр Признаки сравнения
- •7. Признак Даламбера.
- •3) В случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
- •9. Интегральный признак Коши.
- •10.Знакпер ряд абс и услвн сх
- •12. Знакчеред ряды Лейбниц
- •14. Функ ряды область сх
- •15. Равн сх фр Вейерштрассе
- •17. Степ ряд Абель
- •25. Решение ду
- •27 Тригон ряд фурье
- •32. Разлож непериод функ
- •33. Тригоно ряд фурье в комп форме
- •34. Интеграл фурье
- •35 Комп форма инт фурье
- •36. Опред фкп
- •37. Предел и непрерывн фкп
- •42. Общая степен
- •43. Условие коши-риманна
- •47. Основн теор коши
- •48. Интегр формула коши
- •49. Фкп в комп области степ ряд
- •50. Ряд тейлора в фкп
- •51. Ряд лорана фкп
- •52. Особые точки
- •53. Вычеты
- •54. Основн теор вычет
- •55. Вычисл вычет интегр
- •57. Теор подобия смещен опереж
- •58. Ди и инт изобр
- •59. Свертка
53. Вычеты
Если ф-ция аналитическая в какой-то конкр. окрестности z=a, она может быть разложена в ряд Лорана: Особую роль среди коэф-тов играет коэф-т С-1. Он наз. вычетом ф-ции f(z) в точке z=a. . , где контур замкнутый контур, окружающий точку z=a и положительно ориентированный. В качестве можно взят окр. С центром в точке а достаточно малого радиуса (чтобы контур не содержал внутри других особых точек).
.
Вычисление вычетов в полюсе.
Пуст точка z=a явл. полюсом 1-ого порядка. В этом случае разложение в ряд Лорана . Домножим f(z) на z-a
. Переходя к пределу при , получим, что .
. Умножим выражение на (z-a)k
. Продифференцировать к-1 раз это выражение и переходя к пределу при , получим: .
54. Основн теор вычет
Пусть ф-ция f(z) аналитична в некоторой области за исключением крнечного числа особых точек, то согласно теореме (интегр.) Коши для многосвязной области:
. С другой стороны, если интеграл расписать как
55. Вычисл вычет интегр
Если R(sinx,cosx) – рациональная функция от sinx,cosx, непрерывная при (или ), то, сделав подстановку , можно показать, что
Значение интеграла в правой части этого выражения равно сумме вычетов подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих внутри окружности |z|=1, умноженной на 2πi.
2. Если f(z) – дробно-рациональная функция, аналитическая на действительной оси и в верхней полуплоскости(Imz>0), за исключением конечного числа особых точек z1…zn, лежащих в верхней полуплоскости (т.е. ), и если при , то
.
3.Если f(z) -- дробно-рациональная функция, аналитическая на действительной оси и в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа особых точек z1…zn, лежащих в верхней полуплоскости , и если при , то для любого
;
.
56. Св-ва оригиналов и изобр
Оригинал - ф-ция f(t) удовлетворяющая условиям: 1)f(t)=0 при t<0; 2)сущ. M>0и такие, что |f(t)|<= ,где -показатель роста f(t); 3)f(t)-непрерывная или кусочно-непрерывная.
Изображение- ф-ция , где (компл. число). При t>0 интеграл сходится к полуплоскости, где .
=L[f(t)] Если f(t)-оригинал,F(p)-изображение
или
Свойства изображения:
-линейность
c-const
57. Теор подобия смещен опереж
Если f(t)-оригинал, а его изображение F(p) , то для любого α .
Док-во: αt=z ч.т.д
теор смещения
Если f(t)-оригинал, а его изображение F(p) , то для любого .
Док-во: ч.т.д
2)Метод Даламбера для решения уравнений в частных производных.
U(x,0)=φ(x);
U(0,t)=0; U(l,t)=0
Пусть решение имеет вид . Оно удовлетворяет краевым условиям.
теор запазд
Если f(t)-оригинал, и то
←
Доказательство:
F(p)=
=│t-τ=z t=z+τ dt=dz│=
=
= =
, ч.т.д.
58. Ди и инт изобр
Т. Если и предел и – ориг., то изображ. оригинала
.
Док-во:
Если f(t) F(p), то
Док-во:
(по определению). Продифференцируем обе части: