- •1. Числ ряды
- •2.Действия над рядами Св-ва
- •3. Необх признак сх
- •6. Ряды с неотр Признаки сравнения
- •7. Признак Даламбера.
- •3) В случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
- •9. Интегральный признак Коши.
- •10.Знакпер ряд абс и услвн сх
- •12. Знакчеред ряды Лейбниц
- •14. Функ ряды область сх
- •15. Равн сх фр Вейерштрассе
- •17. Степ ряд Абель
- •25. Решение ду
- •27 Тригон ряд фурье
- •32. Разлож непериод функ
- •33. Тригоно ряд фурье в комп форме
- •34. Интеграл фурье
- •35 Комп форма инт фурье
- •36. Опред фкп
- •37. Предел и непрерывн фкп
- •42. Общая степен
- •43. Условие коши-риманна
- •47. Основн теор коши
- •48. Интегр формула коши
- •49. Фкп в комп области степ ряд
- •50. Ряд тейлора в фкп
- •51. Ряд лорана фкп
- •52. Особые точки
- •53. Вычеты
- •54. Основн теор вычет
- •55. Вычисл вычет интегр
- •57. Теор подобия смещен опереж
- •58. Ди и инт изобр
- •59. Свертка
17. Степ ряд Абель
Если степенной ряд сходится при некотором значении , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком х, для которого .
Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком х, для которого .
Доказательство: Так как по предположению числовой ряд сходится, то его общий член при , а это значит, что существует такое положительное число М, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М. Перепишем ряд в виде и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:
Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда
При последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится.
Теперь нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть в некоторой точке ряд расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке х, удовлетворяющей условию . Действительно, если бы в какой-либо точке х-, удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке , так как . Но это противоречит условию, что в точке ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке х.
18.Интервал и радиус сх
Интервалом сходимости степенного ряда является такой интервал от –R до R, что для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.
20. Ряды Тейлора и маклорена
Пусть ф-я f(x) является бесконечно диффериенцируемой, тогда этой ф-и можно поставить в соответствие ряд
Когда x00, то
В интервале сходимости (-R;R) сумма этого ряда S(x), но не всегда f(x)=S(x).
Если ряд сходится, то его можно представить в виде Sn(x)+rn(x) Pn(x)+Rn(x) и Sn(x)=Pn(x), значит rn(x)=Rn(x) иначе не равны.
21. Теор о ед разлож в ряд Тейлора
Если все производные ограничены одной и той же константой, то ряд Тейлора сходится к ф – и по x.
- сходится по признаку Даламбера.
У сходящегося общий член ряда
, отсюда следует, что
Пусть f(x) бесконечно дифференцируема и
Является ли этот ряд рядом Тейлора?
.
Пусть x=x0, тогда ,
или
f(x) – ряд Тейлора.
24. Прибл выч интегралов
В зависимости от того, с какой точностью требуется вычислить оставляют достаточное число членов этого числового ряда. Достаточное число слагаемых берут из оценки достаточного члена ф-лы Тейлора или ост члена ряда Тейлора. Либо для знакочередуюшегося ряда, используя следствие из признака Лейбница.
Для вычисления определенных интегралов
Подинтегральную ф-цию разлагают в ряд Маклорена и в области равномерной сходимости возможно почленное интегрирование
25. Решение ду
Пусть требуется решить ур-е
(1)
удовл.условиям , (2)
Реш-е ур-я (1) ищем в виде ряда Тейлора
(3)
при этом первые 2 коэффициента находим из нач. условий (2). Подставив в ур-е (1) значения , , находим 3-ий коэффициент: Значения , ,…находим путем последоват.дифференцирования ур-я (1) по X и вычиления производных при (коэффициентов), их подставляем в равенство (3). Ряд ( 3) представляет искомое частное реш-е ур-я (1) для тех значений X, при к-рых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным реш-ем ДУ (1).