![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Числ ряды
- •2.Действия над рядами Св-ва
- •3. Необх признак сх
- •6. Ряды с неотр Признаки сравнения
- •7. Признак Даламбера.
- •3) В случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
- •9. Интегральный признак Коши.
- •10.Знакпер ряд абс и услвн сх
- •12. Знакчеред ряды Лейбниц
- •14. Функ ряды область сх
- •15. Равн сх фр Вейерштрассе
- •17. Степ ряд Абель
- •25. Решение ду
- •27 Тригон ряд фурье
- •32. Разлож непериод функ
- •33. Тригоно ряд фурье в комп форме
- •34. Интеграл фурье
- •35 Комп форма инт фурье
- •36. Опред фкп
- •37. Предел и непрерывн фкп
- •42. Общая степен
- •43. Условие коши-риманна
- •47. Основн теор коши
- •48. Интегр формула коши
- •49. Фкп в комп области степ ряд
- •50. Ряд тейлора в фкп
- •51. Ряд лорана фкп
- •52. Особые точки
- •53. Вычеты
- •54. Основн теор вычет
- •55. Вычисл вычет интегр
- •57. Теор подобия смещен опереж
- •58. Ди и инт изобр
- •59. Свертка
43. Условие коши-риманна
Условия Коши-Римана
являются необходимыми условиями
дифференцируемости функции
в точке
.
Обратно, если
частные производные
,
,
,
непрерывны в точке
и условия Коши-Римана
,
выполнены, то функция
дифференцируема в точке
.
Производная функции
выражается через частные производные
функций
и
по формулам:
47. Основн теор коши
Если функция
аналитична в односвязной замкнутой
облости
с границей
,
то
(2)
Односвязная область- область, новые две точки которой можно соединить непрерывной линией, не выходя за эту область. Иначе, область многосвязна,
Док-во (Т):
(поскольку функция
аналитическая и к ней применимо правило
Коши- Римана).
48. Интегр формула коши
Формула Коши
связывает значение аналитической
функции
внутри области
с граничными точками
.
Пусть область
-односвязная
с границей
,
-аналитическая
функция. Если
-внутренняя
точка бласти
(инт.
Формула Коши для односвязной области)
(5)
Док-во: Пусть
есть внутренняя точка области
,
тогда функция
аналогична
в области
всюду, кроме точки
.
Проведем круг с
радиусом
с центром в
По теореме Коши для многосвязной области
-функция
непрерывная, потому, взяв
-произвольно
малое число, то
.
49. Фкп в комп области степ ряд
Степенной ряд-ряд вида (1)
(1): ,где С- постоянные комплексные числа.
Если a=0 то (2): ,подстановкой z-a=t можно перейти от (1) к (2).
Т.Абеля: Если ряд (2) сходится абсолютно при z=z0, то он сходится абсолютно и при всех |z|<|z0|. Если ряд (2) расходится при , то он расходится и при всех z .
Радиус сходимости:
|z-a|=R-круг включая границы
|z-a|<R-круг без границы
Область сходимости степенного ряда - круг. На границе исследовать дополнительно.
50. Ряд тейлора в фкп
Теорема: f(z), аналитическая внутри круга с центром в точке z=a разлагается в ряд Тейлора.
Доказательство:
По формуле Коши
z=a – центр окружности, тогда |z-a|=r(радиус центра) причем
r <σ. Т.к. t-a=σ |t-a|>|z-a| - сумма бесконечно
убывающей геометр. прогрессии, т.к.. Преобразуем:
По свойству интегралов: интеграл от суммы ( ∑ ) = сумме интегралов.
Тогда
51. Ряд лорана фкп
Ряд Лорана по
степеням
- это формула вида
Правильная часть
ряда Лорана сходится в круге
Главная часть ряда
Лорана сходится в круге
,
где
- внешность круга.
.
Если выполняется это условие, то ряд
Лорана сходится в кольце
.
Теорема Лорана.
Пусть функция
является аналитической в кольце
.
Тогда
,
где
- ряд Тейлора по степеням
.
Полученное разложение функции однозначно.
52. Особые точки
Число а наз. нулем
ф-ции f(z),
если f(a)=0.
Пусть ф-ция f(z)
аналитична в некоторой окрестности
точки а, тогда для нее имеет место
разложение
.
Если z=a
ноль ф-ции f(z),
то из разложения видно f(а)=C0=0.
Будем говорить, что точка z=a
явл. Нулем порядка k
ф-ции f(z),
если коэффициенты С0,
С1,
… ,Ск-1 равны
0, а Ск
отличен от нуля. Тогда f(z)=Ск(z-a)k
+… + Cn(z-a)n
+… . При к=1
ноль первого порядка наз. простым нулем.
Точка z=0
явл. Нулем второго порядка. Для того,
чтобы точка z=a
была нулем порядка к ф-ции f(z)
необходимо и достаточно выполнение
соотношения f(а)=0,
а
f(к)(а)0.
Нули ф-ции f(z)=0
наз. изолированными, если их можно
окружить непересекающимися окрестностями.
Для аналитической ф-ции нули явл.
изолированными.
Полюсы.
Предположим, что f(z) аналитична в окрестности z=a, кроме самой точки а, в этом случае точка z=a явл. Изолированной особой точкой ф-ции. В окрестности этой точки f(z) разлагается в ряд Лорана.
Пусть все С-n
равны нулю, тогда. Если перейти к пределу,
,
но в самой точке ф-ция неопределена. В
этом случае точку а наз. устранимой
особой точкой ф-ции f(z).
Пусть в главной
части ряда Лорана имеется конечное
число (к) слагаемых, тогда точка z=a
наз. полюсом к-ого порядка.
.
При z=a
С-к0.
правую часть обозначим (z).
Функция (z)
явл. Аналитической ф-цией всюду, кроме
точки z=a.
,
где (z)0
.
Если для ф-ции f(z)
z=a
полюс к-ого порядка, то для ф-ции
,
(а)0,
есть ноль к-ого порядка. Справедливо и
обратное: если для ф-ции
z=a
полюс к-ого порядка, (а)0.
Полюсы также явл. Изолированными особыми точками.
Если в разложении (1) главная часть содержит бесконечное число слагаемых, т точка z=a наз. существенно особой точкой.