10.Знакпер ряд абс и услвн сх
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.
11. св-ва абс сх рядов
1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле).
2. Абсолютно
сходящиеся ряды с суммами
и
можно почленно складывать (вычитать).
3. Под произведением
двух рядов
и
понимают
ряд вида
Произведение
двух абсолютно сходящихся рядов с
суммами
и
есть абсолютно сходящийся ряд, сумма
которого равна
12. Знакчеред ряды Лейбниц
Если в знакочередующемся
ряду
,
где
положительны,
члены таковы, что
и
,
то ряд сходится, его сумма положительна
и не превосходит первого члена.
Доказательство:
Рассмотрим сумму
первых членов ряда.
>0,
т.к. все скобки положительны. Запишем
теперь эту же сумму так:
По
условию 1 каждая из скобок положительна.
Поэтому в результате вычитания этих
скобок из
мы получим число, меньшее
.
Таким образом, мы установили, что
при
возрастании m
возрастает и ограничена сверху. Отсюда
следует, что
имеет
предел S
,
причем
.
Однако сходимость еще не доказана. Мы
доказали только, что последовательность
четных частичных сумм имеет пределом
число S.
Докажем теперь, что нечетные частичные
суммы также стремятся к пределу S.
Рассмотрим для этого сумму
первых членов исходного ряда.
.
Так как по условию 2 теоремы
,
то следовательно
Тем
самым мы доказали, что
как при четном n,
так и при нечетном. Следовательно,
исходный ряд сходится
14. Функ ряды область сх
Функ. ряд – ряд,члены которого являются функ. одного и того же аргумента.
Ф.р.:
Совокупность значений x, при которых ф.ряд сходится - область сходимости ф.ряда.
;
-
n-частичная
сумма ,
-
остаточный член
=lim
Если ряд сходится, то
15. Равн сх фр Вейерштрассе
П
усть
дан функциональный ряд
и если
– сходится, то функциональный ряд
сходится равномерно на E.
Д оказательство:
Т.к. ряд сходится, то по критерию Коши: для
любого
ε>0 существует такой номер N, что
ε для всех n>N и любых целых p>=0.
Поэтому для всех n>N и
.
Это означает, что ряд
сходится равномерно на множестве Е
16. Св-ва равн сх почлен диф и инт
Если ряд состоящий из непрерывных функций, сходится равномерно на [а, b] к сумме S(x), то интеграл от суммы этого ряда = сумме интегралов от его членов.
, где α и х є [a,
b]
Дифференцирование функциональных рядов.
Теорема
Если функциональный ряд (1)
сходится к сумме S(x)
на [a, b], и ряд (2)
,
составленный из производных членов
данного ряда равномерно сходится на
[a,
b]
к сумме σ(x),
то сумма ряда, составленного из
производных, равна производной от суммы
ряда (1), т.е. σ(x)=