2. Исчисление высказываний генценовского типа

Определим элементы исчисления высказываний ИС.

Алфавит ИС состоит из букв А, В, Q, Р, R и других, возможно, с индексами (которые называются пропозициональными переменными), логических символов (связок) отрицания , конъюнкции , дизъюнкции , импликации →, следования ├·, а также вспомогательных символов: левой скобки (, правой скобки ), запятой ,.

Множество формул ИС определяется индуктивно: Слово алфавита ИС называеся формулой, если:

1. все пропозициональные переменные являются формулами ИС (такие формулы называются элементарными или атомарными)

2. если φ, ψ — формулы ИС, то φ, (φψ), (φψ), (φ→ψ) - формулы ИС;

3. выражение является формулой ИС тогда и только тогда когда это может быть установлено с помощью пунктов "а" и "б"

В дальнейшем при записи формул будем опускать некоторые скобки, используя те же соглашения, что и в алгебре логики.

Определение. Подформулой ψ формулы φ ИС будем называть подслово φ, являющееся формулой ИС.

Если все вхождения подформулы ψ в φ заменить на формулу , то получим новую формулу .

Предложение 1. Каждая неатомарная формула в ИС представима в одном и только одном из следующих видов для однозначно определенных и .

Секвенциями называются конечные выражения следующих: двух видов, где φ₁,…,φ_n, ψ ― формулы ИС:

φ₁,…,φ_n ├ψ (говорится "из истинности φ₁,…,φ_n логически следует ψ”),

φ₁,…,φ_n├ (говорится "система формул φ₁,…,φ_n противоречива")

Последовательности формул φ₁,…,φ_n в секвенциях будут часто обозначаться через Г (возможно, с индексами): Г├ψ, Г├ .При этом последовательность Г считается пустой при n=0. Значит, записи ├ψ и ├ также являются секвенциями, первая которых может читаться как утверждение о доказуемости формулы ψ.

Таким образом, наряду с формулами, символизирующими простые или сложные высказывания, секвенции являются записями утверждений, в которых выделяются посылки и заключение. Буквы , , будем называть переменными для формул; добавим их к алфивиту ИС и обозначим через В.

Определение. Схемой секвенций (формул) ИС будем называть такое слово в алфавите В, что при любой подстановке в это слово вместо переменных формул соответствующих конкретных формул, получим секвенцию (формулу) ИС. Результат подстановки будем называть частичным случаем этой схемы.

Пример. - схема, - результат подстановки, где .

Множество аксиом ИС определяется следующей схемой секвенций. φ├φ, где φ ― произвольная формула ИС.

Аксиомами являются, например, секвенции Α→ A→BC├ Α→ A→BC.

Правилa вывода ИС (формализуют стандартные логические способы рассуждений) задаются следующими записями, где Г — произвольная (возможно пустая) конечная последовательности формул ИС, φ,ψ,χ — произвольные формулы ИС.

1. (введение Λ).

2. (удаление ).

3. (удаление ).

4. (введение ).

5. (введение ).

6. (удаление , или правило разбора двух случаев).

7. (введение →) – правило эквивалентной переформулировки теорем. Когда условие теоремы перемещается в заклячение в виде посылки.

8. (удаление →) – правило отделения, modus ponens.

9. (удаление , или доказательство от противного).

10. (выведение или обнаружения противоречия)

11. (перестановка посылок).

12. (утончение, или правило лишней посылки) – добавление условий не влияет на вывод.

Вывод S₀,.. S_n, - в ИС называется линейным доказательством. Секвенция S называется доказуемой в ИС, или теоремой ИС, если существует линейное доказательство So,..,Sn в ИС, заканчивающееся секвенцией S: S_n = S Формула φ называется доказуемой в ИС, если в ИС доказуема секвенция ├φ . Если - доказательство в ИС, - также, тогда , - тоже доказательство ИС.

Определим по индукции понятие дерева секвенций:

1. любая секвенция является деревом секвенций;

2. если D_o, …,D_n — деревья секвенций и S — секвенция, то запись

также является деревом секвенций;

3. любое дерево секвенций строится в соответствии с пп. 1 и 2.

Вхождением секвенции в дерево D называется место, которое секвенция занимает в дереве. Каждая секвенция может иметь несколько вхождений в дерево секвенций. Вхождение секвенции дерево D, над (под) которым нет горизонтальной черты, называется начальным (соответственно заключительным).

Из определения дерева секвенций ясно, что начальных секвенций в дереве может быть несколько, а заключительная секвенция единственна.

Часть дерева, состоящая из секвенций, находящихся непосредственно над некоторой чертой, под той же чертой, а также самой черты, называется переходом.

Дерево D называется доказательством в ИС в виде дерева, если все его начальные секвенции суть аксиомы ИС, а переходы осуществляются по правилам 1-12. Дерево D называется доказательством секвенции S в виде дерева в ИС, или деревом вывода S в ИС, если D — доказательство в ИС и S — его заключительная секвенция.

Покажем, что наличие линейного доказательства секвенции равносильно существованию доказательства секвенции в виде дерева.

Предложение 1. Секвенция S имеет доказательство в ИС в виде дерева тогда и только тогда, когда S ― теорема ИС.

Доказательство. Пусть S₀,..., S_n-1, S ― линейное доказательство в ИС. Если S ― аксиома, то S ― доказательство секвенции S в виде дерева. Предполагая по индукции, что секвенции S₀,..., S_n-1 имеют доказательства D₀,..., D_n-1 в виде дерева, а секвенция S получается из секвенций S_i1,..., S_ik применением некоторого правила вывода, заключаем, что дерево

является доказательством секвенции S в виде дерева.

Пусть теперь дано доказательство секвенции S в виде дерева D. Если S ― аксиома, то S является линейным доказательством секвенции S. Допустим, что секвенция S не является аксиомой. Тогда дерево D имеет вид

где D_i=S_i или ,

i = 0,...,п. Предполагая по индукции, что секвенции Si имеют линейные доказательства L_i, i= 0,...,п, получаем линейное доказательство L₀, ..., L_n, S секвенции S. 

Очевидно, что представление доказательства в виде дерева более наглядно и позволяет проследить все переходы по правилам вывода.

Пример 1. Приведем доказательство секвенций φψ├ψφ в виде дерева для любых формул φ и ψ.

2. Следующее дерево демонстрирует доказуемость формулы φφдля любой формулы φ:

Правило называется допустимым в ИС, если из выводимости в ИС секвенций S₀,..., S_n следует выводимость в ИС секвенции S.

Заметим, что допустимость правила равносильна тому, что его добавление в исчисление ИС не расширяет множество доказуемых секвенций.

Предложение 2. Следующие правила допустимы в ИС:

(а) (расширение посылок);

(б) (расширение посылок);

где в пп. (а) и (б) выполняется

(в) (сечение);

(г) (объединение посылок);

(д) (расщепление посылок);

(е) (разбор случаев)

(ж) (выведение противоречия)

(з) (выведение из противоречия)

(и) (контрапозиция);

(к) (контрапозиция);

(л) (контрапозиция);

(м) (доказательство от противного);

(н) (введение , →);

(о) (удаление , →)

Доказательство. Допустимость правила

показывается следующим деревом:

Допустимость правила (а) следует из допустимости указанного правила с помощью правил 11 и 12. Допустимость правила (б) вытекает из правил (а), (ж) и (з).

Докажем допустимость правила (з), а остальные правила оставим студентам в качестве упражнения

устанавливает доказуемость секвенции Г├φ.

Использование допустимых правил вывода позволяет во многих случаях приводить сокращенные доказательства секвенций, которые при необходимости можно преобразовать в доказательства секвенций в виде деревьев в ИС.

Например, следующее дерево устанавливает доказуемость секвенции (φ→ψ),ψ├φ:

Правило называется равносильным, если доказуемость (единственной) секвенции, стоящей над чертой, равносильна доказуемости секвенции, стоящей под чертой. Из предложения 1.2.2 вытекает, что следующие правила равносильны: 9, 11, (г), (д), (ж), (и), (к), (л), (м), (н), (о).