Электронный конспект лекций

по курсу

«Математическая логика

и теория алгоритмов»

Введение

Данный материал предназначен для студентов 2-го курса, изучающих математическую логику и теорию алгоритмов. Семестровый курс "Математическая логика и теория алгоритмов" является непосредственным продолжением курса дискретной математики.

Основы математической логики и теории алгоритмов, излагаемые в конспекте, могут использоваться при изучении ряда профилирующих дисциплин для подготовки специалистов по информатике, вычислительной технике, прикладной математике, автоматике и автоматизированному управлению. К таким дисциплинам относятся бакалаврские дисциплины "Базы данных", "Системы искусственного интеллекта", "Логическое программирование", "Структуры и алгоритмы обработки данных", 'Теория автоматов", "Теория вычислительных процессов", и др.

Содержание.

1. ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 2

1.1. Определение формального исчисления 2

1.2. Исчисление высказываний генценовского типа 4

1.3. Эквивалентность формул 10

1.4. Нормальные формы 13

1.5. Семантика исчисления секвенций 14

1.6. Исчисление высказываний гильбертовского типа 18

1.7. Алгоритмы проверки общезначимости и противоречивости в ИВ 22

2. ЛОГИКА И ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 28

2.1. Алгебраические системы. Формулы сигнатуры Σ. Истинность формулы на алгебраической системе 29

2.2. Секвенциальное исчисление предикатов 35

2.3. Эквивалентность формул в 42

2.4. Нормальные формы 44

2.5. Теорема о существовании модели 46

2.6. Исчисление предикатов гильбертовского типа 46

2.7. Скулемизация алгебраических систем 48

2.8. Метод резолюций в исчислении предикатов 51

2.9. Некоторые проблемы аксиоматического исчисления предикатов 57

3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 59

3.1. Машины Тьюринга 61

3.2. Функции, вычислимые на машинах Тьюринга. 63

3.3. Рекурсивные функции и отношения 64

3.4. Неразрешимость исчисления предикатов. Теорема Геделя о неполноте. Разрешимые и неразрешимые теории. 71

1. Исчисления высказываний

1. Определение формального исчисления

Введем общее понятие формального исчисления. Будем говорить, что формальное исчисление I определено, если выполняются следующие четыре условия:

1. Имеется некоторое множество А(I) ― алфавит исчисления I. Элементы алфавита А(I) называются символами. Конечные последовательности символов называются словами исчисления I. Обозначим через W(I) множество всех слов алфавита исчисления I.

2. Задано подмножество Е(I)  W(I), называемое множеством выражений исчисления I. Элементы множества Е(I) называются формулами или секвенциями.

3. Выделено множество А_х(I)Е(I) выражений исчисления I, называемых аксиомами исчисления I.

4. Имеется конечное множество  (I) частичных операций R₁ R₂, ..., R_n на множестве Е(I), называемых правилами вывода исчисления I.

Итак, исчисление I есть четверка <A(I),E(I), A_x(I),  (I)>.

Если , то f будем называть частичной n-местной операцией на X с областью определения Y.

Если набор выражений (Φ₁,...,Ф_m, Ф) принадлежит правилу R_i то выражения Φ₁,...,Ф_m называются посылками, а выражение Φ ― непосредственным следствием выражений Φ₁,...,Ф_m по правилу R_i, или заключением правила R_i. Записываться этот факт будет следующим образом:

Иногда в этой записи символ i будем опускать, если ясно, о каком правиле идет речь:

Выводом в исчислении I называется последовательность выражений Φ₁, Ф₂, ..., Ф_n такая, что для любого i (1<= i<=n) выражение Ф_i, есть либо аксиома исчисления I, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих выражений.

Выражение Φ называется теоремой исчисления I, выводимым в I или доказуемым в I. если существует вывод Φ₁,...,Ф_n,Ф, который называется выводом выражения Φ или доказательством теоремы Ф

Пример 1. Пусть Е(I) — множество повествовательных предложений русскою языка, А_х(I) множество истинных в данный момент времени предложений вида "подлежащее сказуемое" с точкой на конце. Имея правила вывода

и

можно из простых предложений (аксиом) составлять более сложные (теоремы), также истинные в данный момент времени.

Вообще говоря, может не существовать алгоритма, с помощью которого для произвольного выражения Φ формального исчисления I за конечное число шагов можно определить, является ли Φ выводимым в I или нет. Если такой алгоритм существует, то исчисление называется разрешимыми, а если такого алгоритма нет ― неразрешимым. Исчисление называется непротиворечивым, если не все его выражения доказуемы.

Ниже мы проведем построение двух формальных исчислений - исчислений высказываний, в основе которых лежат формулы алгебры логики. Первое из этих исчислений ― исчисление высказываний генценовского типа, предложенное Генценом, в качестве выражений использует секвенции, построенные из формул алгебры логики. Это исчисление будет обозначаться через ИС. Второе исчисление - исчисление высказываний гильбертовского типа, создано Гильбертом, и в нем выражениями являются непосредственно формулы алгебры логики. Исчисление высказываний гильбертовского типа будет обозначаться через ИВ. Мы покажем, что оба исчисления эквивалентны в том смысле, что доказуемыми в них будут являться в точности тождественно истинные формулы. Из последнего факта будут вытекать разрешимость и непротиворечивость исчислений высказываний.

Строящиеся в дальнейшем исчисления ИПС и ИП, являющиеся расширениями исчислений ИС и ИВ соответственно, послужат примерами неразрешимых непротиворечивых исчислений.