4. Полнота в широком смысле

Логическая система полна в широком смысле, если любая тождественно ис­тинная формула в нем доказуема. На основании теоремы Геделя проблема полноты в широком смысле решается для исчисления предикатов положи­тельным образом.

Все выводимые формулы исчисления предикатов представляют собой тожде­ственно истинные высказывания. Обратно, каждая тождественно истинная формула выводима в исчислении предикатов. Из этого ясно, что в исчисле­нии предикатов нельзя вывести сколько-нибудь содержательное по существу высказывание, в частности, математическое. Однако если к аксиомам исчис­ления предикатов присоединить какие-либо невыводимые формулы в качест­ве новых аксиом, то получится другое исчисление, в котором выводимы, по­мимо тождественно истинных формул, и другие формулы. Средствами этого исчисления могут быть описаны различные математические дисциплины, например арифметика, теория чисел, геометрия, теория множеств. Любая де­дуктивная система может быть выражена указанными средствами. При этом любая выбранная система аксиом должна быть внутренне непротиворечива и независима, т. е. каждая из аксиом должна быть не выводима из остальных.

3. Элементы теории алгоритмов

При изучении дискретной математики и формальных исчис­лений мы рассматривали большое количество различных алгоритмов. Это и алгоритм Евклида нахождения наибольших об­щих делителей, и алгоритмы нахождения кратчайших маршру­тов во взвешенном графе, и алгоритм распознавания доказуемости формул исчисления высказываний.

Отметим несколько основных общих черт алгоритмов.

1. Алгоритм — это процесс последовательного построения (вычисления) величин, протекающий в дискретном времени так, что в начальный момент времени задается исходная конечная система величин, а в каждый последующий момент система величин получается по определенному закону (программе) из системы величин, имевшихся в предыдущий момент времени (дискретность алгоритма).

2. Система величин, получаемых в любой не начальный момент времени, однозначно определяется системой величин, полученных в предыдущие моменты времени (детерминированность алгоритма).

3. Закон получения последующей системы величин из предшествующей должен быть простым (элементарность шагов алгоритма).

4. Если способ получения последующей величины из какой-нибудь заданной величины не дает результата, то должно быть указано, что надо считать результатом алгоритма (направленность алгоритма).

5. Алгоритм должен быть пригоден для решения всех задач из заданного класса (массовость алгоритма).

Приведенные свойства определяют, конечно, не строгое понятие алгоритма, которое называется интуитивным. Оно практически не вызывает разногласий относительно того, является ли данный процесс алгоритмическим. Однако ситуация суще­ственно изменяется, если есть предположение об алгоритмиче­ской неразрешимости задачи, т.е. о невозможности решить ее алгоритмическими методами.

В 20-х — 30-х годах двадцатого века предпринимались попыт­ки формализовать понятие алгоритма. В результате было пред­ложено несколько моделей алгоритмов (машины Поста и Тью­ринга, рекурсивные функции, нормальные алгоритмы Маркова (1954 г.) и др.). Впоследствии было установлено, что классы ре­шаемых ими задач совпадают, и на основании этого появился тезис о моделях алгоритмов, опубликованный впервые Чёрчем в 1936 г. для класса рекурсивных функций и носящий его имя в следующем современном виде.

Тезис Чёрча. Класс задач, решаемых в любой формальной алгоритмической модели, совпадает с классом задач, которые могут быть решены интуитивно алгоритмическими методами.

Тезис Чёрча доказать нельзя, поскольку интуитивное поня­тие алгоритма строго не определяется.

Любое вычисление по алгоритму А можно представить в ви­де функции , где , такой, что для любых числовых данных значение совпа­дает с результатом работы алгоритма А на данных . Таким образом, в классе всех функций , где , выделяется подкласс вычислимых функций, т.е функ­ций вида Тем самым тезис Чёрча утверждает, что совпадают классы вычислимых и рекурсивных функций.

Формальное определение понятия алгоритма создало пред­посылки для разработки теории алгоритмов. Прогресс вычисли­тельной техники стимулировал дальнейшее развитие этой теории.

Далее мы рассмотрим две основные модели вы­числимости — машины Тьюринга и рекурсивные функции, уста­новим эквивалентность этих моделей и на основе этих моделей укажем некоторые пределы вычислимости.