Тема 5. Комплексные числа

Алгебраическая

Тригонометрическая

Форула эйлера\показательная:

,

Связь с тригонометрией:

Любые арифметические операции.

Брать корень и возводить в степень как и обычные числа.

Функции: ,

В квадратных уравнениях комплексное число может «выручить» дискриминант из отрицательности. Следовательно любое квадратное уравнение будет иметь 2 корня .

Теорема Абеля. Для n>5 нельзя выразить корни уравнения степени n через его коэффициенты при помощи радикалов.

Тема 6 Производная функции.

Производную обозначают   или  .

из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Пример y=|x|;

Тангенс угла наклона к касательной.

, где х0 и у0 – координаты точки. – касательная

- нормаль

Производная пути , есть скорость. Итд.

- производная простой ф-ции.

Для неявной запомнить , что производная от sin(y) является cos(y)*y’;

Для логарифмического нахождения – логарифмируем обе части.

Запомнить , что производная счиатется через деление y’(t) на x’(t)

Обратные – arcsin ; arcos ; arctg; arcctg; - таблица.

С гиперболическими – таблица.

ВФСА - это просто набор из нескольких обычных функций. Производной такой функции можно считать набор, состоящий из производных каждой функции в отдельности.

Механическая интерпритация - что нибудь из физики….

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме  ,   и производные  ,   непрерывны на отрезке [ ,  ] , то длина дуги кривой выражается интегралом .где   и  — значения параметра  , соответствующие концам дуги ( < ). 

Тема 7. Дифференциал

Функция дифференцируема , если к этой функции можно провести провести касательную, хоть одну. Дифференциал – линейное приращение функции.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Правило нахождения дифференциала 1.       Дифференциал постоянной величины     dc=0.

2.       Дифференциал сумм                       d(u+v)=du+dv.

3.       Дифференциал произведения                  d(d·u)=du·v+dv·u.

4.       Дифференциал частного                 d = .

5.       Дифференциал сложной функции     y=f (u); u=f(x);dy=f ΄(u)·dxu.

Тема 8 Приложение теории дифференцирования

Правило Лапиталя – можно взять производные дроби(отдельно числитель, отдельно знаменатель) несколько раз, для нахождения предела. Тоже самое для замечательных переделов.

Теорема Ферма:

Для любого натурального числа  n >2 уравнение

не имеет натуральных решений a, b и c.

Тема 9 Производные для графиков

Производные нужны для: Первая производная: нахождения экстремумов. И интервалы возрастания убывания. Вторая производная : точки перегиба, кривизна прямой. Вогнутость , выпуклость точка разрыва. Асимптоты находятся из самой функции, а не из производных.

Тема 10 . Неопределенный интеграл

Интеграл от функции, это и есть нахождение его первообразной. 1°. Производная от н.и. равна подынтегральной функции, а дифференциал — подынтегральному выражению:

2°. в частности,

Свойства 1°, 2° следуют из определения н.и.

3°. Н.и. от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме н.и. от каждого слагаемого.

Докажем, что (Равенство понимается с точностью до постоянного слагаемого.) Действительно, по 1°:

 Таким образом,

левая и правая части имеют одинаковые производные и могут отличаться лишь постоянной

4°. Постоянный множитель можно выносить за знак н.и.:

5°. Независимость вида н.и. от выбора аргумента (инвариантность формы интеграла): где    имеет непрерывную производную. Действительно, по свойству инвариантности формы дифференциала:

Частным случаем 5° является = F(ax + b) + с.

Очевидно, учитывая, что d(ax + b) = a dx, получаем формулу

Суть замены состоит в том, что в функции f(x+c) и под знаком дифференциала d , должно стоять одно и тоже выражение. Если есть сумма или разность интегралов, то можно применить интегрирование по отдельности. Для интегрирования рациональной функции  , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

5. Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

6. sinx=2tgx2\1+tg2x2 x = +2 n n Z;

7. cosx=1+tg2x21\tg2x2 x = +2 n n Z;

8. tgx=2tgx21\tg2x2 x = +2 n n Z x =2 + n n Z;

9. ctgx=2tgx2\1−tg2x2 x = n n Z x = +2 n n Z.

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей   используется подстановка  .  Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме  , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.