14.Показатели формы распределения.

Для получения представления о форме распределения используются показатели среднего уровня (средняя арифметическая, мода, медиана), показатели вариации, ассиметрии и эксцесса.

В симметричных распределениях средняя арифметическая, мода и медиана совпадают ( ). Если это равенство нарушается — распределение ассиметрично.

Простейшим показателем ассиметрии является разность , которая в случае правосторонней ассиметрии положительна, а при левосторонней — отрицательна.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности и вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Рассчитанные для таких распределений средняя, мода и медиана так же равны.

При изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии (As) , где Mo, Me – модальное (медианное) значение переменной x.

Его величина может быть положительной и отрицательной.

Центральными называются моменты распределения, при вычислении которых за исходную величину принимаются отклонения вариантов от средней арифметической данного ряда.

Наиболее широко в качестве показателя асимметрии применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, т.е.:

.

Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной, если она меньше 0,25, то – незначительной.

Оценка существенности As производится коэффициента асимметрии σAs, которая зависит от числа наблюдений n и рассчитывается по формуле:

В случае |As| / σAs > 3 асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна, и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса (Ek). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвертого порядка:

.

Среднеквадратическая ошибка эксцесса (σEk) рассчитывается по формуле:

, где п – число наблюдений

Для определения асимметрии и эксцесса можно пользоваться упрощенными формулами, предложенными Линдбергом:

As = p – 50, где p – удельный вес (в процентах) количества тех вариант, которые превосходят среднюю арифметическую, в общем количестве вариант данного ряда;

Ek = p – 38,29, где p – доля (в процентах) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения.

Хотя показатели асимметрии и эксцесса характеризуют непосредственно лишь форму распределения признака в пределах изучаемой совокупности, но их определение имеет не только описательное значение. Часто асимметрия и эксцесс дают определенные указания для дальнейшего исследования социально-экономических явлений. Так появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности. Кроме того, эти показатели позволяют сделать вывод о возможности применения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения.