35.Линейные интегральные уравнения 2-го рода. Случай вырожденного ядра.
Определение:
(1) – линейное
интегральное уравнение второго рода.
;
- линейный оператор.
Если , то (1) – однородное, иначе – неоднородное.
параметр. 
ядро.
Все функции в (1) – непрерывные (и тоже).
(2) – союзное уравнение к (для, по отношению) уравнению (1).
Далее всегда условимся
считать, что
.
Уравнения (1) и (2) не имеют общих формул для решения.
Теоремы Фредгольма.
Однородные уравнения (1) и (2) имеют конечное и притом одинаковое число линейно независимых решений.
(альтернатива Фредгольма). Справедливо одно и только одно из следующих утверждений:
а) неоднородное
уравнение (1) имеет единственное решение
для
.
б) соответствующее однородное уравнение (1) имеет ненулевые решения.
Для того, чтобы неоднородное уравнение (1) было разрешимым, необходимо и достаточно, чтобы
для любого решения
соответствующего однородного уравнения.
Определение:
Ядро уравнения (1) –
вырожденное, если
.
,
,
(
–
константы)
, 
;
Найдем :
Возьмем
,
домножим обе части уравнения (4) на
;
проинтегрируем от
до
.
.
, 
(8) – система линейных
алгебраических уравнений. Решив ее,
найдем
.
План решения: 1. найти
по формуле (7).
2. составить и решить систему (8). Если (8) не имеет решения, то (1) тоже. Иначе:
3. решение записывается по формуле (5).
36.Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.
Вариацио́нное исчисле́ние — это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.
Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики. Например, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — одно из мощнейших орудий получения уравнений движения (см. например Принцип наименьшего действия), как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике
Значительно более сложной задачей является та, в которой ограничения носят характер дифференциальных уравнений. Эту задачу называют задачей Лагранжа; особое значение она приобрела в середине 20 в. в связи с созданием теории оптимального управления. Поэтому её формулировка даётся ниже на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягина и его учеников.
Пусть x (t) и u (t) — вектор-функции размерностей n и m соответственно, причём функция x (t), которую называют фазовым вектором, при t = to и t = T удовлетворяет граничным условиям:
где e0 и eT — некоторые множества. Простейшим примером условий типа (5) являются условия (2). Функция x (t) и функция u (t), которую называют управлением, связаны условием
где f — дифференцируемая вектор-функция своих аргументов. Рассматриваемая задача состоит в следующем: определить функции x (t) и u (t), доставляющие экстремум функционалу
