13.Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ролля

Пусть функция . Тогда ■

□ Из условия следует по свойству 1⁰ непрерывных на функций, что .

Существует две возможности:

1) ;

2) в силу .

Пусть , тогда согласно теореме Ферма .

Данная теорема обладает таким же геометрическим истолкованием, что и теорема Ферма.

Теорема Лагранжа

Пусть функция . Тогда ■

□ Введём на вспомогательную функцию , для которой верны условия теоремы Ролля: или .

Следовательно .

Солгасно т. Ролля :

◙

Геометрическое истолкование теоремы Лагранжа. Строим график функции (рис. 10.2), . Угловой коэффициент касательной в т. . Следовательно, на графике функции .

Теорема Коши

Пусть функции . Тогда ■

В формуле . В противном случае согласно теореме Ролля .

□ Введём . Подберём такое , чтобы

Тогда . По теореме Ролля .

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа, где .

14. Правило Лопиталя. Правило Бернулли-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1. или ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

15. Достаточные условия экстремума функции одной переменной. Экстремум функции – это ее локальный максимум или минимум.

1. Случай функции одной переменной. Заметим, что максимум или минимум дифференцируемой функции может находиться лишь в ее критической точке (необходимое условие экстремума).

Пусть х₀ – критическая (стационарная) точка функции y = f(x) (т.е. внутренняя точка области ее определения, в которой производная равна нулю). Тогда можно сформулировать следующие достаточные условия существования экстремума в этой точке:

а) Пусть функция дифференцируема в некоторой  окрестности U точки х₀, не содержащей других критических точек. Тогда:

   если при переходе через точку х₀ производная f ' меняет свой знак с плюса на минус, х₀ – точка (локального) максимума функции;

   если при переходе через точку х₀ производная меняет свой знак с минуса на плюс, х₀ – точка (локального) минимума функции;

   если при переходе через точку х₀ производная не меняет свой знак, в точке х₀ нет экстремума.

б) Пусть в точке х₀ существует вторая производная функции f,  f ''(x0), не равная нулю. Тогда:

   если f’’(x₀) > ₀, х₀ – точка (локального) минимума функции;

   если f’’(x₀) < ₀, х₀ – точка (локального) максимума функции.

16.Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Определение 1. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции в ней – локальным максимумом (локальным минимумом) функции , если существует -окрестность точки такая, что в любой точке имеем (соответственно, ).

Определение 2. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума), а значение функции в ней – строгим локальным максимумом (локальным минимумом) функции , если существует -окрестность точки такая, что в любой точке имеем (соответственно, ).

Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Теорема 1. (необходимое условие локального экстремума функции). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Доказательство. По условию теоремы существует конечная производная . Так как функция имеет в точке локальный экстремум, то она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Значит, производная не может быть ни положительной, ни отрицательной. Тем самым доказано, что . ■

Теорема 1 имеет очень простой геометрический смысл: она утверждает, что если в той точке кривой , в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси Ох

Определение 4. Точки, которых производная функции обращается в нуль, называются стационарными точками функции и и ).

Определение 5. Точки, которых производная функции не существует, но в них определена, называются критическими точками функции