5. Мощность цепи переменного тока

В периодическом синусоидальном режиме

.

Используя известное тригонометрическое преобразование

и обозначив , получим

.

Среднее за период значение гармонической функции удвоенной частоты равно нулю. Отсюда получаем, что мощность в цепи переменного тока не зависит от времени и определяется ее средним значением

,

где cos – энергетическое значение коэффициента мощности,

; .

При заданных Р и U ток является функцией cos. Потери мощности на сопротивлении Р = I²R.

В цепи с резистором  = 0 кривые тока и напряжения показаны на рис.9, а кривая мощности на рис.10.

Мгновенное значение мощности:

;

.

Действующее значение мощности:

.

Активная мощность в цепи с идеальной катушкой индуктивности равна 0. Реактивная мощность определяется выражением Q = U_LI = I²X_L.

Аналогичные выкладки можно проделать для цепи с идеальным конденсатором: P = 0, Q = U_сI = I²X_с.

6. Символический метод расчета цепей переменного тока

Для цепи переменного тока с последовательным соединением R, L, C (рис.11) дифференциальные уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:

, .

Решение системы дифференциальных уравнений можно существенно упростить, если перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это можно сделать, изображая синусоидальные величины (i, u) в комплексной форме, т.е. в виде вектора на комплексной плоскости (рис.12).

Расположим под углом _u относительно оси абсцисс вектор U_m, длина которого в масштабе равна амплитуде изображаемой величины. Положительные углы будем откладывать в направлении против часовой стрелки.

Проекции вектора на вертикальную ось мнимых величин в комплексной плоскости равны мгновенному значению напряжения.

Система векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой. Вектора вращаются относительно центра координат с одной и той же скоростью и поэтому относительно друг друга их положение не меняется. Векторная диаграмма изображается неподвижной в заданный момент времени, определяемый начальной фазой какой-либо величины, например, для идеальных элементов R, L, C (рис.13).

Сложение двух функций в тригонометрической форме трудоемко, но легко производится в векторной форме (рис.14).

В расчетах применяют три формы записи комплексных величин:

1) алгебраическая ;

2) тригонометрическая

;

; ;

3) показательная ;

; ; .

Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повернута по отношению к вещественной на угол 90 в положительном направлении (против часовой стрелки).

Переходы из одной формы записи в другие:

,

где , ;

,

где , .

Представленная ранее система дифференциальных уравнений для цепи переменного тока с R, L, C в комплексном виде записывается следующим образом:

;

;

.

Используя выражения , , запишем выражение для полного напряжения цепи:

,

где – комплексное сопротивление;  – комплексная амплитуда напряжения; – комплексная амплитуда тока.

При замене амплитудных значений на действующие получим закон Ома в комплексной форме:

.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

.

Векторная диаграмма напряжений для цепи (см. рис.11) будет представлять собой прямоугольный треугольник (рис.15),

; ;

; .

Треугольники токов, сопротивлений (рис.16) и мощностей (рис.17) строятся аналогично:

; ;

; ;

; .

Полная мощность S = UI; активная мощность Р = UIcos; реактивная мощность Q = UIsin, где ; ; ; ; ; .

В треугольниках напряжений, токов, сопротивлений и мощностей угол  сохраняет свое значение.

При параллельном соединении ветвей (рис.18) их проводимости складываются в комплексной форме:

;

; ; .

Общий ток по первому закону Кирхгофа:

.