2. Топологические понятия электрических цепей

Участок электрической цепи, по которому проходит ток одного и того же значения и направления, называется ветвью. Замкнутая электрическая цепь, образованная одной или несколькими ветвями, называется контуром, а место соединения трех или более ветвей – узлом. На схеме узел изображается точкой. Графическое изображение цепи называется электрической схемой.

Электрические цепи классифицируются: по роду тока (постоянный и переменный); по характеру элементов (линейные и нелинейные); по схемам соединения (простые и сложные); по изображению (монтажные, принципиальные и замещения).

3. Законы электрических цепей

1. Закон Ома: , , .

2. Первый закон Кирхгофа – закон баланса токов в узле. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна 0,  =  0. Электрический заряд в узле не накапливается.

3. Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма ЭДС источников питания в любом контуре равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура, .

4. Закон Джоуля – Ленца. Энергия, выделяемая на сопротивлении R при протекании по нему тока I, пропорциональна произведению квадрата силы тока и величины сопротивления: .

4. Режимы работы электрических цепей

В промышленности применяются два рода тока – постоянный и переменный. Под постоянным понимают электрический ток не изменяющийся во времени.

Если ток постоянный, то отсутствует явление самоиндукции и напряжение на катушке индуктивности равно нулю,

так как i = const.

Если рассматривать конденсатор как идеальную емкость, то в цепи постоянного тока эта ветвь равносильна разомкнутой.

Постоянный ток через емкость не проходит.

Таким образом, в цепи постоянного тока остаются только источники ЭДС или тока – активные элементы и приемники резисторы – пассивные элементы.

Простыми цепями постоянного тока называются цепи с одним источником при последовательном (рис.1), параллельном (рис.2) и смешанном (рис.3) соединении приемников.

Согласно схеме на рис.1: E = IR₁ + IR₂ +  + IR_n = =I(R₁ + R₂ +  + R_n) = IR_экв; R_экв = R_i.

При параллельном соединении приемников напряжение на всех приемниках одинаково.

По закону Ома токи в каждой ветви:

; ; .

По первому закону Кирхгофа общий ток

;

; .

Смешанное соединение – комбинация первых двух соединений где параллельное соединение может быть преобразовано к последовательному:

.

Переменным током называется ток, периодически меняющийся по величине и направлению.

Периодический режим: I₀(t) = I₀(t + кT). К такому режиму может быть отнесен синусоидальный:

,

где – амплитуда; – начальная фаза; – угловая скорость вращения генератора.

При f = 50 Гц 0,02 с,   314 pад/c.

График синусоидальной функции называется волновой диаграммой (рис.4).

При расчете электрических цепей синусоидальную функцию выражают по формуле Эйлера через экспоненциальные функции:

+j

U_m

U_m

_u

-_u

Рис.5. Вектор напряжения

на комплексной плоскости

; ;

где .

Тогда

,

где ; – поворотный множитель; – комплексная амплитуда напряжения; – сопряженная комплексная амплитуда напряжения.

Таким образом, синусоидальное напряжение можно представить на комплексной плоскости вращающимся вектором. Тогда амплитудное значение напряжения U_m будет представлять собой модуль или длину вектора напряжения (рис.5).

Так как в цепи с синусоидальным напряжением ток тоже будет подчиняться этому закону, то аналогично можно записать

где комплексная амплитуда тока; сопряженная комплексная амплитуда тока.

Разделив напряжение на ток, получим закон Ома в комплексном виде:

.

При напряжение на сопротивлении согласно закону Ома . Таким образом, следует отметить, что на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе и _u – _i =  = 0 (рис.6).

Среднее значение напряжения:

.

Действующие значения тока и напряжения:

; .

Приборы электромагнитной системы, применяемые для измерений напряжений и токов на переменном токе, регистрируют действующие значения. Соответственно градуируются и шкалы этих приборов.

Ток, протекающий через индуктивность L (рис.7), меняется по закону синуса .

Напряжение на индуктивности определяется выражением

,

где ; – модуль индуктивного сопротивления цепи переменного тока.

В идеальной индуктивности ток отстает от напряжения на 90.

Если напряжение на емкости меняется по закону синуса (рис.8) , то

;

; ; .

В идеальной емкости ток опережает напряжение на 90.

Режим – состояние электрической цепи переменного тока описывается дифференциальными уравнениями, представляющими собой уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью, например .

Из курса высшей математики известно, что общее решение такого уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов:

, ,

где – ток принужденного режима при и U(t) = U₀; – ток свободного режима.

Свободные процессы исследуются с целью определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать. Принужденный и свободный процессы в сумме определяют процессы, которые называются переходными, т.е. осуществляется переход от одного установившегося режима к другому.

При установившемся режиме ток и напряжение сохраняют в течение длительного времени амплитудные значения.

В цепях постоянного тока токи и напряжения остаются неизменными, а в цепях переменного тока остаются неизменными кривые изменения токов и напряжений.