1. Случайные события, виды событий.

Испытанием (или опытом) называется осуществление некоторой совокупности условий.

Событием называется любой результат испытания.

Событие называется случайным (обозначается прописными буквами А,В,…), если в данном испытании оно может или произойти, или не произойти.

Событие называется достоверным, если в данном испытании оно обязательно произойдет.

Событие называется невозможным, если в данном испытании оно никогда не произойдет.

Событие называется несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными.

2.ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. Для таких событий справедливо следующее утверждение: сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В - 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

0,7+0,2+р=1, отсюда искомая вероятность

р=1-0,7-0,2=0,1.

3.Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей.

Суммой (или объединением) событий А и В называется событие, обозначаемое А+В, которое состоит в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Произведение (или совмещением) событий А и В называется такое событие, обозначаемое АВ, состоящее в одновременном наступлении и события А, и события В.

Если события А₁,…,А_n образуют полную группу попарно несовместных событий, то справедливы равенства: .

Для событий А и справедливы равенства: А+ =Е, Следовательно, событий А и всегда образуют полную группу несовместных событий.

4. Аксиомы вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей.

Для любого события А вероятность Р(А)>=0 (аксиома неотрицательности) и Р(А)<=1; Р(сигма)=1 (аксиома нормированности); Р(пустое множество)=О.

Если события A и В несовместны, т. е. не могут появиться вместе в ре­зультате одного опыта, то

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (аксиома сложения вероятностей или аксиома аддитивности). Для любого события А

Р(А с черточкой наверху)=1-Р(А) (вероятность противоположного события). Дня любых двух событий A и В

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (формула сложения вероятностей).

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А) (формула умножения вероятностей).

5. Частота или статистическая вероятность

Если произведена серия из п опытов, в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие А, то частотой события А (или относительной частотой) в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов. Частота события вычисляется на основании результатов опыта по формуле

W(A) = m/n. Где m - число появлений события А, п - общее число произведенных опытов. Частоту события часто называют его статистической вероятностью.

Сопоставляя определения вероятности и частоты события, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности, определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а частоту - после опыта. Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

6 ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СОБЫТИЯ. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Например, попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события.

Для таких событий справедливо следующее утверждение: сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущего утверждения p+q=l.

Теорема (вероятность суммы несовместных событий). Если А и В несовместные события, то вероятность события Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство: А₁,…,А_n полная группа попарно несовместных событий.

Пусть m₁ – благоприятствует А, т₂ – благоприятствует В, т₁+т₂ следственно благоприятствует А+В, если не совместны т₁≠т₂.

Следствие1. Вероятность наступления одного из нескольких попарно несовместных событий (безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий: Р(А₁+…+А_n)=Р(А₁)+…Р(А_n).

Следствие 2. Вероятность событий А равна единице минус вероятность его противоположного события : Р(А)=1-Р( ). Теорема (вероятность суммы совместных событий). Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).