4 Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди, їх властивості.

Означення: Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як невід’ємні, так і від’ємні числа.

Зауваження: Якщо серед членів ряду є лише скінченна кількість членів одного із знаків, то такий ряд може розглядатися як ряд з додатними членами. Шляхом розгляду окремо його членів до певного номера та після нього.

Теорема Лейбніца:

Нехай члени знакозмінного ряду прямують до нуля, складаючи при цьому спадну за абсолютною величиною послідовність, тоді такий ряд є збіжний.

Доведення: Розглянемо ряд ; ; , припустимо, що додатними є члени ряду з непарними номерами a₁, a₃, a₅,...; а від’ємними – члени ряду з парними номерами: a₂, a₄, a₆,... .

Розглянемо частинні суми окремо з парними і окремо з непарними номерами:

, отже у випадку частинних сум з парними номерами ми маємо зростаючу послідовність, в той же час

, тобто ця послідовність обмежена зверху, і, відповідно, прямує до певної границі:

. Оскільки то .

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є ряд складений з абсолютних величин його членів.

Тобто, якщо - збіжний, то, - абсолютно збіжний.

Зауваження: Абсолютно збіжний ряд завжди є збіжний, але не кожен збіжний ряд є збіжний абсолютно. Якщо ряд є збіжний, проте не абсолютно, то такий ряд називається умовно збіжним.

Дійсно при абсолютній збіжності

5 Функціональні ряди. Властивості рівномірно збіжних рядів

Нехай послідовність функцій. Якщо при фіксованому значенні числова послідовність є збіжною до числа , то кажуть, що число х₀ належить області збіжності вказаної послідовності.

Якщо по заданій функціональній послідовності побудовано функціональний ряд , то область збіжності Послідовності його частинних сум , називається областю збіжності цього ряду.

Означення: Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на деякому інтервалі до функції . Якщо для будь-якого знайдеться таке, що для будь-якого при виконується нерівність або .

Нехай для ряду існує збіжний числовий ряд , такий що при всіх значеннях k і довільних x з інтервалу виконується нерівність: , тоді функціональний ряд збігається рівномірно для .

Доведення:

1. Функціональний ряд є абсолютно збіжним на вказаному інтервалі, оскільки ряд складений з абсолютних величин його членів збігається на цьому інтервалі за мажорантно-мінорантною ознакою порівняння.

2. Для будь-якого , знайдеться таке, що при , що і означає його рівномірну збіжність.

6 Неперервність суми функціонального ряду

Якщо члени функціонального ряду є неперервними функціями на деякому інтервалі і ряд рівномірно збігається на цьому інтервалі, то його сума неперервна на цьому ж інтервалі.

Доведення: Очевидно, що S_n(x) неперервна на [a;b]. Розглянемо приріст суми ряду: ∆S(x)=∆S_n(x)+∆r_n(x); |∆S(x)|≤|∆S_n(x)|+|∆r_n(x)|;

_{оскільки} S_n(x) неперервна, то _{ε<0 δ>0: |∆x|< δ => |∆Sn(x)|<ε/3}

_{|∆r(x)|≤|rn(x+∆x)-rn(x)|≤|rn(x+∆x)|+|rn(x)|. З рівномірної збіжності ряду випливає, що для того ж самого ε>0 N(ε): n>N => |rn|<ε/3,}

_{отже |∆S(x)|<ε/3+ ε/3+ ε/3.}