Вопрос№4 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. B) Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.

Опр!:1) Упорядоченная тройка некомпланарных векторов[т.е. не плоскости, ||-ной каждому из них] наз. правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки.

а)1) Ск-ным произв. 2-х векторов наз. число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла м/у ними: (a,b)=|a||b|cos. Св-ва: 1. a, b (a, b)= (b,a); 2. векторов a,b,c, и  чисел  и  выполнено равенство (а+b,c)= (a,c)+ (b,c). В частности, (а+с)= (a,c) и (a+b,c)=(a,c)+(b,c). Док-во: If с=0, то утверждение очевидно. ! c≠0. Примем за с первый вектор базиса и выберем ост-ные ортогонально к нему и м/у собой. Выражение (а+b,c)/|c|²-первая компонента вектора а+b. Так же (a,c)/|c|² и (b,c)/|c|²-первые компоненты векторов a и b. Воспользовавшись операциями для векторов с заданными компонентами, запишем: (аb,c)/|c|²= (a,c)/|c|²+(b,c)/|c|²  3. . векторов a,b и  числа : (a,b)=(a,b). 2) Векторным произв. векторов а,b наз. вектор c, построенный т.о., чтобы выполнялись условия: 1. |c|=|a||b|sin, =ab; 2. c ортогонален а и b; 3. if а и b не коллинеарны, то векторы a,b,c образуют правую тройку векторов. So, c=[a,b]. Вспомогат-ное св-во: [a,b]=S параллелограмма, натянутого м/у ними. Св-ва: 1. a [a,a]=0; 2. a,b [a,b]=-[b,a]-антикоммутативно; 3. ,a,b [a,b]= [a,b];4.[a,b+c]=[a,b]+[a,c]; 5. [a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b); 6.[a[b,c]]+[c[a,b]]+[b[c,a]]=0 – тождество Якоби. 3)Число (a,[b,c]) наз. смешанным произведением векторов a,b,c обозначается (a,b,c). Вспомогат-ые св-ва: 1. (a,b,c)=([a,b],c)=|[a,b]|*|c|*cos([a,b]c); 2. |(a,b,c)|=V параллелепипеда; 3. (a,b,c)>0правая тройка, <0левая тройка; 4. (a,b,c)=0  a,b,c компланарны. Основные св-ва: 1. abc [([a,b],c)=(a,[b,c])]; 2. abc [(a,b,c)=(a,b,c)]; 3. abc (a,b,c)=(c,a,b)=(b,c,a)=-(a,c,b)=-(b,a,c)=-(c,b,a); 4. a₁a₂bc [(a₁+a₂,b,c)=(a₁,b,c)+(a₂,b,c)]

б) Множество L мы наз. линейным пр-ством, а его элементы-векторами, если: 1. задан з-н (оп. сложения), по кот. любым 2-м эл-там x и y из L сопоставляется эл-т, наз-ый их суммой и обозначаемый x+y; 2. задан з-н (оп. умножения на число),по кот. эл-ту x из L и числу  сопоставляется эл-т из L, наз-ый произведением x на  и обозначаемый x; 3. xyz из L,  выполнены аксиомы: 3.1. x+y=y+x; 3.2.(x+y)+z=x+(y+z); 3.3.  эл-т 0: x x+0=x; 3.4. x  эл-т -x: x+(-x)=0; 3.5.(x+y)=x+y; 3.6. (+)x=x+x; 3.7.(x)=()x; 3.8.произведение любого эл-та x на число 1 равно x: 1*x=x.Примеры: 1)мн-во всех ф-ций от одной независимой переменной , опред-х и непр-х для 01. 2)L-мн-во всех мн-нов от одной пер-й, степень кот-х не выше заданного числа n; 3)лин-е пр-ство из одного эл-та-нулевое. Лин-е пр-ство L наз. конечномерным, если в нем можно найти конечную максимальную линейно независимую систему векторов. Всякая такая система векторов (лин. незав. и каждый вектор есть лин. комбинация векторов этой системы) будет наз-ся базой пр-ства L. Все базы конечномерного линейного пр-ства L состоят из одного и того же числа векторов. Если это число равно n, то L будет наз. n-мерным линейным пр-ством, а число n-размерностью этого пр-ства. Всякая система из n+1 вектора n-мерного линейного пр-ства линейно зависима. Всякая линейно независимая система векторов n-мерного линейного пр-ства содержится в некот. базе этого пр-ства. Коэф-ты лин. комбинации наз. компонентами вектора по базису. Th: Если задан базис, то компоненты вектора определяются однозначно. Непустое мн-во L’ векторов в лин-м пр-стве L наз. линейным подпр-ством, если: а) сумма любых векторов из L’  L’ и б) произведение каждого вектора из L’ на любое число также  L’. ! R-мн-во векторов в лин. пр-стве L.L’-совок-сть всевозможных лин. комбинаций, каждая из кот. составлена из конечного числа векторов, R. L’ наз. линейной оболочкой мн-ва R. Утв1: Размерность лин. оболочки конечного мн-ва векторов не превосходит числа этих векторов; Утв.2: ! L’-подпр-ство n-мерного линейного пр-ства L_n. Тогда L’ имеет разм-сть kn. Если k=n, то L’ совпадает с L_n. Суммой подпр-ств L’ и L’’ наз. линейная оболочка их объединения, а их пересечением наз. мн-во векторов,-х одновременно обоим подпр-ствам. Th: Размерность суммы 2-х подпр-ств равна сумме размерностей этих подпр-ств минус размерность их пересечения, т.е. d=d₁+d₂-d₀ (1).Комплексное линейное пр-ство L наз. унитарным (эрмитовым), если задан з-н, сопоставляющий каждым 2-м векторам x и y из L комплексное число (x,y), и з-н этот удовлетворяет след. аксиомам, каковы бы ни были векторы x,y, и z и число : 1. (x,y)=(y,x)(с чертой), т.е. при перестановке сомножителей ск. произв. заменяется на комплексно сопряженное число; 2. (x,y)= (x,y); 3. (x+y,z)=(x,z)+(y,z); 4. (x,x)>0, если x≠0.