Вопрос№1 Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями r и c.

Определения: 1) Многочлен f(x) над полем Р наз. приводимым в этом поле, если его можно представить в виде произведения многочленов над этим полем меньших степеней. Если такое представление невозможно, многочлен наз. неприводимым; 2) ! p(x)-неприводимый делитель мн-на f(x) над полем Р. Число к1 наз. кратностью неприводимого делителя p(х) в f(x), если f(x) делится на p(x)^k, но не делится на p(x)^k+1; 3) Многочленом над полем Р наз. выражение f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀,где a_n, a_n-1,…, a₁, a₀-коэффициенты мн-на f(x) (элементы поля), x-независимая переменная, a₀-свободный член мн-на, a_n-старший коэффициент мн-на, n-степень мн-на, a_nxⁿ-старший член м-на (a_n≠0); 4)! P-поле, Р[x]-кольцо мн-нов от х над Р, f(x)=a₀xⁿ+…+a_n-1x+a_nP[x] и ! сР. Тогда f(с)=a₀сⁿ+…+a_n-1с+a_n-значение мн-на f(x) при x=c.c-корень мн-на f(x), если значение f(c)=0; 5) Число k-кратность корня с мн-на f(x), если (x-c)^k делит f(x),но (x-c)^k+1 не делит f(x). c-простой корень, если k=1;6) Если f(x)= a₀xⁿ+…+a_n-1x+a_n-мн-н над произвольным полем Р, то его производной f ’(x) наз. мн-н f ‘(x)=a₀n* x^n-1+…+a_n-1(n-1)*x^n-1+…+a_n-1; 7)Мн-ны f и g наз. взаимно простыми, если все их общие делители являются константами. Св-ва: 1. Если f взаимно прост с  и , то f взаимно прост и с произведением *; 2. Если f,g делятся на  , но f взаимно прост с  , то g делится на ; 3.Если f делится на взаимно простые  и ,то f делится на произведение  *;

а)Свойства неприводимых многочленов:1. Если p(x) – неприводимый многочлен над Р, то и c*p(x) - неприводимый многочлен над Р для каждой константы c≠0; 2.Если f(x) – произв. многочлен, а p(x)-неприводимый над Р,то либо f(x) делится на p(x), либо f(x) и p(x) – взаимно просты; 3. Если произведение многочленов f и g делится на неприводимый многочлен p, то на p(x) делится и хотя бы один из сомножителей f или g. Док-во: допустим, что f(x) не делится на р(х). Тогда в силу св-ва 2 f и р – взаимно просты, и, по св-ву взаимно-простых мн-в, g делится на р(х); 4. Всякий мн-н первой степени над произвольным полем неприводим.

б)Th (о каноническом разложении мн-нов): Всякий мн-н f(x) степени≥1 над произвольным полем P раскладывается в произведение неприводимых над Р мн-нов. Док-во: Если f(x) неприводим над Р, то f(x)=f(x) уже искомое разложение. Допустим, что f(x)-приводимый над Р мн-н и f(x)=f₁(x)*f₂(x), где f₁(x) и f₂(x)-мн-ны над Р меньших чем f степеней. По индукции можно предположить, что f₁(x) и f₂(x) раскладываются в произведение неприводимых над Р мн-нов. Тогда это верно и для f.Th Безу: ! f(x)P[x] – мн-н и с-элемент поля Р, тогда f(x)=(x-c)q(x)+r(x) (1), где остаток r(x) равен f(c). В частности с является корнем мн-на f(x)f(x) делится на (x-c).Док-во: Равенство (1) (где q(x) и r(x)- частное и остаток) выполняется по Th о делении мн-нов [! f(x) и g(x)≠0-мн-ны над полем.Тогда  и единств.мн-ны q,r: f=gq+r. r=0 или 0≤deg r≤deg g], где r(x)-константа. В (1) подставим с вместо х: f(c)=0*q(c)+r(c),т.е. r(c)=f(c). Т.к. r(x)-константаr(x)=f(c). 2-е утверждение – следствие из 1-гоTh: Если порядок основного поля Р достаточно большой, то число корней мн-на f(x) не превосходит его степени.Док-во:Допустим, что ₁,₂ и т.д.-попарно различные корни мн-на f(x). Тогда мн-ны (x-₁), (x-₂),… неприводимы над Р и попарно взаимно просты. По Th Безу f(x) делится на (x-₁), (x-₂),…и в силу св-в взаимно простых мн-нов, делится на их произведение (x-₁)*(x-₂)*…Степень этого произведения равна сумме степеней сомножителей (числу корней ₁,₂,₃,…)Поэтому степень мн-на f≥числа корней ₁,₂ … Th: ! P – поле характеристики 0. Если k≥1 есть кратность корня с мн-на f(x), то с есть (k-1)-кратный корень мн-на f ‘(x). В частности, с-простой корень мн-на f(x)f и f’ взаимно просты.Док-во: f(x)=(x-c)^kg(x), причем с не корень мн-на g(x). f’(x)=k(x-c)^k-1g(x)+ (x-c)^kg’(x)=(x-c)^k-1[k*g(x)+(x-c)g’(x)].[] не делится на х: если бы делилось, с являлось бы корнем []. Найдем значение [] при x=c≠0. k*g(c)=0 если бы характеристика ≠0, что по условию невозможноk*g(c)≠0 и с- (k-1)кратный корень и вытекает 2-е утверждениеОсновная Th алгебры комплексных чисел: Всякий мн-н степени1 над полем С имеет хотя бы один комплексный корень. Следствие: Над полем С неприводимыми являются лишь мн-ны первой степени. Th: Над полем R неприводимыми являются лишь мн-ны первой степени и мн-ны второй степени, не имеющие веществ-х корней.

Неприводимые многочлены над некоторыми полями.

1. Поле комплексных чисел C. Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает, что над полем C неприводимы только многочлены первой степени.

2. над полем R неприводимыми будут , во первых, все многочлены первой степени, а, во-вторых, те многочлены второй степени, которые не имеют корней в R ( то есть у которых дискриминант отрицателен). Все прочие многочлены - приводимы.