- •Методические указания к Госам Автор Юршевич м.С и Потылицын в.П. Оглавление
- •Вопрос№1 Корни и канонические разложения многочленов над полями вещественных и комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями r и c.
- •Вопрос№2 Теоремы об а)умножении определителей и б)о ранге матрицы.
- •Вопрос№3 а)Правило Крамера, б)Th Кронекера-Капелли и в)Th-мы об однородных уравнениях.
- •Вопрос№4 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. B) Линейные и унитарные пространства, базы, размерность, подпространства.
- •Вопрос№5 а)Линейное преобразование, его б)матрицы, в)характеристические корни, собственные значения и собственные векторы. Г)Жорданова форма матрицы.
- •Вопрос№6 а)Уравнения прямых и плоскостей в пр-стве. Канонические уравнения б) кривых и в) поверхностей 2-го порядка.
- •Вопрос№8 Th о функциональной полноте ив.
- •Вопрос№9 а)предел посл-сти и б)предел ф-ции в точке.
- •Вопрос№10 Непрерывность ф-ции а) в точке и на отрезке, б) точки разрыва 1-го и 2-го рода.
- •Вопрос№11 Дифференцируемость и дифференциалы ф-ций 1-й и многих переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала.
- •Дифференциал функции многих переменных.
- •Теорема об инвариантной форме первого дифференциала.
- •Вопрос№12 Формула Лагранжа конечных прирашений.
- •Вопрос№13 Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа.
- •Вопрос№14
- •Вопрос№15 Числовые и функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
- •Сходимость функциональных последовательностей и рядов
- •Равномерная сходимость
- •Вопрос №16 Теория о неявной функции
- •Вопрос№17 а) Градиент, касательная пл-сть и нормаль в точке поверхности. Б) Уравнения касательной и нормали к кривой.
- •Вопрос№19
- •Определенный интеграл.
- •Вопрос№20 Формула Ньютона-Лейбница
- •Вопрос№21 Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.
- •Вопрос№23 Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).
- •Вопрос№24 Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества.
- •Вопрос№25 Фундаментальная последовательность, полное пространство.
- •Вопрос№26 Принцип сжимающих отображений.
- •Вопрос№27 Компактное пространство и множество. Критерий компактности в .
- •Вопрос№29 Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана.
- •Уравнение Коши-Римана
- •Вопрос№30 Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.
- •Вопрос№32_1 а) Классификация изолированных особых точек. Б)Теорема о вычетах. В)Ряд Лорана. Д)Теорема Руше и принцип аргумента.
- •Вопрос№32_2
- •Вопрос№33_1 ду простейших типов и их инегрирование.
- •Вопрос№34 Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения ду 1-го порядка.
- •Для любой внутренней точки найдется решение уравнения (8.2.2), удовлетворяющее условию при .
- •Если два решения и уравнения (8.2.2) совпадают хотя бы для одного значения , т.Е. , то эти решения совпадают для всех .
- •Вопрос№35 Линейные ду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Вопрос№36_1 Устойчивость решения линейных систем ду 2-го порядка. Классификация особых точек (узел, седло, фокус, центр и тд.)
- •Вопрос№36_2
- •Критерий Гурвица
- •Вопрос№37 Классификация ду в частных производных 2-го порядка.
- •Вопрос№39 Метод разделения переменных.
- •Вопрос№41 Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.
- •Вопрос№42 Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условие сходимости.
- •Вопрос№43 Метод простой итерации вычисления корня нелинейного уравнения. Условие сходимости. Метод Ньютона: формула, геометрическая интерпретация, условия сходимости.
- •Вопрос№44
- •Вопрос№45_1 Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.
- •Вопрос№45_2
- •Гармонический анализ.
- •Вопрос№47 Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.
- •Вопрос№48 Классификация интерфейсов вычислительных систем.
- •Вопрос№49 Основные функции операционной системы.
- •Вопрос№50
- •Вопрос№51_1 Алгоритмы сортировок (элементарные методы сортировки, быстрая сортировка Хоара, сортировка слиянием), поиска, рекурсий.
- •Сортировка Выбором
- •Сортировка Вставкой
- •Пузырьковая Сортировка
- •Быстрая сортировка
- •Слияние
- •Вопрос№51_2
- •Рекурсия
- •Вопрос№52 Основы объектно-ориентированного программирования. (инкапсул., полиморфизм, наследов.)
- •Вопрос№53 Симплекс метод. Постановка задачи. Способы решения Каноническая форма:
- •Вопрос№54_1 Матричные игры. Решение игры в смешанных стратегиях.
- •Вопрос№54_2
- •Теорема(Джона Фон Неймана)
- •Вопрос№55 Основные требования к организации баз данных как хранилищ корпоративно используемых данных. Способы и средства достижения этих требований.
- •Вопрос№56_1 Технология проектирования баз данных: этапы проектирования, модели представления предметной области, синтаксические модели данных. Этапы разработки базы данных
- •Вопрос№56_2
- •Вопрос№57 Классическое определение вероятности. Условная вероятность, независимые события, теоремы сложения и умножения.
- •Теорема сложения
- •Вопрос№58 Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.
- •Вопрос№59 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.
- •Своиства
- •Вопрос№60 Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.
- •Вопрос№61 Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.
- •Практика Диффуры.
- •1.Найти частное решение уравнения в точке .
- •3. Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
- •5. Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов первого рода.
- •6.Рассмотрим несколько примеров на вычисление несобственных интегралов второго рода.
- •7.Рассмотрим примеры использования признака сравнения несобственных интегралов.
- •9. Вычисление пределов. (правили Лопиталя)
- •11.Исследовать функцию и построить ее график.
- •12. Исследовать функцию и построить ее график.
- •13. Исследовать функцию и построить ее график.
- •15. Найти полный дифференциал функции
- •16. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
- •19. Вычисление двойных интегралов
- •20. Вычислить интеграл
- •22. Найти общее решение дифференциального уравнения .
- •23. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •24. Уравнения, приводящиеся к однородным.
- •Разделяем переменные:
- •25.Решить уравнение
- •26. Решить уравнение
- •28. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •29.Решить уравнение
- •30. Найти общее решение системы уравнений:
- •31. Сходимость рядов.
- •32. Теория вычетов
- •33. Криволинейные интегралы
- •34.Устойчивость оду
- •35.Даны вершины треугольника a(1,-2,-4), b(3,1,-3), c(5,1,-7). Составить уравнение высоты, проведенной из вершины b. И вычислить площадь.
- •36.Проверить компланарны ли вектора a(2,0,1), b(5.3.-3), c(3,3,10).
Вопрос№20 Формула Ньютона-Лейбница
Непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную, которая определяется формулой
, (7.12.1)
где С – произвольная постоянная. Подставляя в формулу (7.12.1), получаем с учетом свойства определенного интеграла:
,
откуда
.
Тогда из выражения (7.12.1) имеем
.
Полагая теперь , получаем формулу
. (7.12.2)
Равенство (7.12.2) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.
Разность условно записывают символом . Формула (7.12.2) дает широкие возможности для вычисления определенных интегралов.
Опред.: рассм.мн-во Е={y, (y)x(y)}. Пусть функция f(x,y) определена на мн-ве Е и y[,] интегрируема по Риману на отрезке [(y),(y)]. Тогда определен интеграл (y)(y)f(x,y)dx=Ф(y), который наз.интегралом, зависящим от параметра.
Теорема: (дифференцирование интеграла, зависящего от параметра)
Пусть Е={y, (y)x(y)}. f(x,y) и f/y – непрерывны на E. , - непрерывно дифференцируемы на [,]. Тогда (y)(y)f(x,y)dx=Ф(y) явл.дифференцируемой на [,] функцией, причем dФ/dy=
(y)(y)f(x,y)/ydx+f((y),y)d/dy-f((y),y)d/dy.
Д-во:
Рассм.ф-ю F(y,u,v)=uvf(x,y)dx. Отметим, что F(y, (y), (y))=Ф(y). Ф’(y)=F/y+(F/u)(d/dy)+(F/v)(d/dy).
F как интеграл с переменным нижним пределом интегрирования имеет частную непрерывную производную по u: F/u=-f(x,y).
F как интеграл с переменным верхним пределом интегрирования имеет частную непрерывную производную по v: F/v=f(x,y).
Покажем, что F дифференцируема по y. Тогда F/y=uvf(x,y)/ydx. [В частном случае, когда uxv, u,v=const, тогда F(y)=uvf(x,y)dx явл.дифференцируемой на y, причем dF/dy=uvf(x,y)/ydx].
Рассм.разность и покажем непрерывнось фу-ии F: ΔF=F(y+Δy,u+Δu,v+Δv)-F(y,u,v)=u+Δuv+Δvf(x,y+Δy)dx-uvf(x,y)dx=uv [f(x,y+Δy)-f(x,y)]dx+vv+Δvf(x,y+Δy)dx-uu+Δuf(x,y+Δy)dx=[применим формулу конечных приращений Лагранжа]=[uvf(x,y+Δy)/ydx]Δy+[F(v+Δv,y+Δy)-F(v,y+Δy)]-[ F(u+Δu,y+Δy)-F(u,y+Δy)]=[еще раз применим формулу конечных приращений Лагранжа]=[uvf(x,y+Δy)/ydx]Δy+f(v+1Δv,y+Δy)Δv- f(u+2Δu,y+Δy)Δu. Если (Δy,Δu,Δv)(0,0,0), то ΔF0 – это означает непрерывность F. Рассм.предел при Δy0 отн-ния ΔF(y,u,v)/Δy (lim(Δy0) ΔF(y,u,v)/Δy=F(y,u,v)/y): lim(Δy0) ΔF(y,u,v)/Δy =uvf(x,y+Δy)/ydx+f(v+1Δv,y+Δy)Δv/Δy - f(u+2Δu,y+Δy)Δu/Δy.
Заменяя u=(y), v=(y), учитывая, что (y), (y) – непрерывно дифференцируемы на [,] (т.е. при Δy0 Δ0, Δ0, ’(y)=lim(Δy0)Δu/Δy, ’(y)=lim(Δy0)Δv/Δy), получим:
dФ/dy=lim(Δy0)ΔF(y,(y),(y))/Δy =(y)(y)f(x,y)/ydx+f((y),y)’(y)-f((y),y)’(y).
Вопрос№21 Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.
Число I наз.кратным интегралом Римана функции f(x) по измеримому мн-ву E, если >0 >0 такое, что , ||< и (i)Ei выполняется |(f,(i))-I|< (или lim(||0)(f,(i))=I).Обозначается Efd(E) или ..(E)..f(x1,…,xn)dx1…dxn. Здесь ={Ei} – разбиение измеримого мн-ва Е на измеримые мн-ва Еi, таких, что 1)(ЕiEj)=0 ij 2)i=1i()Ei=E, i - число эл-тов разбиения.|| - мелкость разбиения ||=max{d(E1),…,d(Ei())}, d(E)=sup(aE,bE)(a,b) – диаметр мн-ва ЕRn.(E) – n-мерный объем. Пусть f:ERn, ЕRn, E – измеримо. - некоторое разбиение. Произвольным образом выберем точку (i)=(1(i),… ni())Ei и составим выражение вида (f,(i))=i=1i()f((i))(Ei). Оно называется интегральной суммой Римана.
Криволинейный интеграл первого рода. Пусть Г – спрямляемая непрерывная кривая в R3xyz. f(x,y,z)–непрерывна на Г. П усть Т={=t0<t1<…<tk<tk+1<…<tn=} - разбиение этой кривой. Точка Мк(x(tk),y(tk),z(tk))Г. Пусть tkktk+1, k=0,…,(n-1). Nk(x(k),y(k),z(k))МкМк+1(отрезок кривой). Т(k)=k=0n-1f(Nk)Δsk, Δsk=|МкМк+1|. Если конечный lim((Т)0)Т(k), то он наз.криволинейным интегралом первого рода ((Т)=max(k)(tk+1-tk) – диаметр разбиения Т). Обоз. Гf(x,y,z)ds.
Криволинейный интеграл второго рода: Пусть дана ф-я трех переменных P(x,y,z) – непрерывна в области GГ, Г – кусочно-гладкая кривая с уравнением Г:r=r(t), atb. Возьмем некоторое разбиение Т={=t0<t1<…<tk<tk+1<…<tn=}. Пусть Мк(x(tk),y(tk),z(tk))Г, k=0,…,(n-1). r=x(t)i+y(t)j+z(t)k. Пусть tkktk+1, k=0,…,(n-1). Т(k)=k=0n-1P(Nk)(xk+1- xk) – интегральная сумма, Δsk=|МкМк+1|.Nk(x(k),y(k),z(k))МкМк+1(отрезок кривой). Если конечный lim((Т)0)Т(k), то он наз. криволинейным интегралом второго рода по координате x ((Т)=max(k)(tk+1-tk) – диаметр разбиения Т). Обоз. ГP(x,y,z)dx. Аналогично, если рассматривать ф-ии Q(x,y,z) и R(x,y,z), непрерывные вдоль Г, то также вводятся интегралы ГQ(x,y,z)dy, ГR(x,y,z)dz. ГP(x,y,z)dx+ГQ(x,y,z)dy+ГR(x,y,z)dz наз.общим криволинейным интегралом второго рода. Формула Грина (связывает двойной интеграл с интегралом второго рода по границе).
1)Пусть GR2 – ограниченная, замкнутая область с кусочно-гладкой границей. 2)Даны две ф-ии Q(x,y), P(x,y)- непрерывны и P,QC1(G).Тогда справедлива формула: G(Q/x-P/y)dxdy=GP(x,y)dx+Q(x,y)dy.
приложения формулы Грина: 1)G[Q/x-P/y]dxdy=GP(x,y)dx+Q(x,y)dy. 2)пусть в 1) Q=x P=0, тогда Gdxdy=G=|G|=[ - площадь G]=Gxdy. 3)пусть в 1) P=-y Q=0, тогда Gdxdy=G=|G|=[ - площадь G]=-Gydx.
4)сложим (2) и (3) и разделим на 2, тогда G=1/2Gxdy-ydx.
Поверхностный инт.первого рода: пусть S – двусторонняя простая гладкая регулярная поверхность с кусочно-гладкой границей, задана ф-я f(x,y,z)=f(M), определенная на S. Разобьем S сеткой кусочно-гладких кривых на части: S=i=1nSi; intSiintSk=0 (при ik эти части не имеют общих внутренних точек). Выберем точку Mi(xi,yi,zi)Si, i=1,…,n и составим интегральную сумму Т=i=1nf(xi,yi,zi)|Si|. Т – разбиение S на Si. |Si| - площадь Si. Пусть Т=maxidiamSi, где diam(ER3)=sup(M1,M2E)(M1,M2). (Если E – компакт, т.е. замкнутое и ограниченное мн.в R3, то diam(ER3)=max(M1,M2E)(M1,M2)). Если конечный предел инт.суммы lim((Т)0)i=1nf(xi,yi,zi)|Si|=I, то он наз.поверхностным инт.первого рода. Обоз. I=Sf(x,y,z)dS.
Поверхностный инт.второго рода: пусть S – двусторонняя простая гладкая регулярная поверхность с кусочно-гладкой границей.выбирается какая-то одна сторона поверхности. Сетью кусочно-гладких кривых разбиваем поверхность на части, т.е. S=i=1nSi; intSiintSk=0 (при ik эти части не имеют общих внутренних точек). Пусть Di – площадь проекции куска поверхности Si на плоскость XOY, снабженная знаком (+) или (-) по следующему правилу: (+) выбирается, если cos(n^Oz)>0 (угол острый); (-)выбирается, если cos(n^Oz)<0 (угол тупой). Di=|Si|cos(n(Mi),Oz). Составим инт.сумму Т(Mi)=i=1nR(xi,yi,zi)Di. MiSi, Mi(xi,yi,zi) – выбор точек на каждом куске поверхности. Т – разбиение поверхности. Если конечный предел I этой инт.суммы lim((Т)0)i=1nR(xi,yi,zi)Di=I, то он наз.поверхностным инт.второго рода. Обоз. I=SR(x,y,z)dxdy. Точно также определяются и два остальных интеграла SP(x,y,z)dydz, SQ(x,y,z)dzdx. Для SP(x,y,z)dydz Di=|Si|cos(n(Mi),Ox); Для SQ(x,y,z)dzdx Di=|Si|cos(n(Mi),Oy).Если все три инт. , то их сумма образует общий поверхностный инт.второго рода SR(x,y,z)dxdy+SP(x,y,z)dydz+SQ(x,y,z)dzdx.
Теорема(Формула Гаусса-Остроградского): Пусть S – простая гладкая регулярная ограниченная и замкнутая поверхность. G – область, ограниченная этой поверхностью. P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)C1(G). Тогда G(P/x+Q/y+R/z)dxdydz=SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=S(Pcos+Qcos+Rcos)dS, cos, cos, cos - направляющие cos вектора n. Теорема (формула Стокса): Пусть 1)в пр-ве R3 задан простой замкнутый гладкий (кусочно-гладкий) контур Г 2)S – простая гладкая регулярная двусторонняя поверхность, натянутая на этот контур. 3)P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)C1(G), где G – область в R3, содержащая поверхность S. Ориентация поверхности согласована с направлением обхода контура.
Тогда ГPdx+Qdy+Rdz= =S[(R/y-Q/z)cos+(P/z-R/x)cos+(Q/x-P/y)cos]dS=S(R/y-Q/z)dydz +(P/z-R/x)dzdx +(Q/x-P/y)dxdy].