Сходимость функциональных последовательностей и рядов

Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз. последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих числовые действительные значения.

Пусть задана последовательность числовых ф-ций {un(x)} Формально написанную сумму: (2) называют функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию un(x) – его членами. Аналогично случаю числовых рядов сумма: Sn(x) = u1(x)+u2(x)+…+un(x) называется частичной суммой ряда n порядка, а ряд: un+1, un+2… - его n-ным остатком. при каждом фиксированном х = х0  Е получим из (1) числовую последовательность {fn(x0)}, а из (2) – числовой ряд , которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных сходится, то сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз. точкой сходимости. Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при  x  E f(x) = называется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция S(x) определенная при  x  Е равенством S(x)= называется суммой ряда (2). Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если обозначить сумму остатка ряда через r_n(x), то S(x) = Sn(x)+r_n(x) . Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-ж Е. Множество всех точек сходимости функционального ряда наз областью сходимости. Например, если существует и , то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1 и расходится при k(x)>1.

Равномерная сходимость

Вопрос №16 Теория о неявной функции

Вопрос№17 а) Градиент, касательная пл-сть и нормаль в точке поверхности. Б) Уравнения касательной и нормали к кривой.

а) Градиентом ф-ции f в т.(x,y,z) наз. вектор grad f=(f/x, f/y, f/z) [grad f=f. -оп-р Гамильтона, оп-р набла, ставящий каждой дифференцируемой в т.(x,y,z) ф-ции f в соответствие вектор grad f]. Плоскость, проходящая ч/з т. (x₀,y₀,z₀) и  к градиенту f в этой т., if он не равен нулю, имеет ур-е (f/x)₀(x-x₀)+(f/y)₀(y-y₀)+(f/z)₀(z-z₀)=0. Она является касательной пл-стью в (x₀,y₀,z₀) к поверхности, определяемой ур-ем f(x,y,z)=А (А=f(x₀,y₀,z₀)). Th: If f диффер. в (x,y,z), то для нее имеет смысл производная по направлению любого единичного вектора n=(cos ,cos ,cos ),выражаемая формулой f/n=f/x* cos +f/y* cos +f/z*cos  (1). Док-во: Согласно опр. производной и производной сложной ф-ции f/n=lim[f(x+t*cos ,y+t*cos , z+t*cos )]/t, t0,t>0=[d/dt*f(x+t*cos ,y+t*cos , z+t*cos )]_t=0=f/x* cos +f/y* cos +f/z*cos , где частный производный взяты в (x,y,z). So, f/n=(grad f,n)=grad_nf. Имеет место очевидное нер-ство: f/n|grad f| n. If grad f=0, то f/n=0n. If grad f0, то f/n<|grad f| n, кроме вектора n₀=(cos ₀,cos ₀,cos ₀), направленного в сторону f. Итак, св-ва градиента: 1. длина его равна макс. величине производной по направлению f/n в (x,y,z); 2. if его длина0, то он направлен в ту же сторону, что и вектор n, вдоль кот. производная f/n максимальна. Also, grad f есть инвариант, т.е. он м/б определен независимо от системы координат, в кот. рассматривается ф-ция f от точки. Предполагаю,что нормалью в т. пов-сти является прямая (единичный вектор), проходящая ч/з эту точку  касательной пл-сти к пл-сти поверхности в этой точке.

б)(рис.1) ! r(t)=(x(t),y(t),z(t)), t(a,b)-вектор, которым определ. гладкая кривая в ПСК. ! r₀=r(t₀)=(x₀,y₀,z₀) и r₀(с точкой)=r(t₀) (с точкой)=(x₀’,y₀’,z₀’). Вектор r₀(с точкой) имеет направление касательной к нашей кривой в т.t₀, поэтому произв. т. касательной опред. вектором =r₀+u*r₀(с точкой) (2) (u-произв. число).(2)-ур-е касательной к кривой в т.t₀ в векторной форме.В дек-вых корд-х: x-x₀=u*x₀’, y-y₀=u*y₀’, z-z₀=u*z₀’ (3).В плоском случае соотношениям (3) соответствует одно ур-е: (x-x₀)/x₀’=(y-y₀)/y₀’.В плоском случае можно опр-ть понятие нормали в т.t₀ кривой, т.е. прямой,рассматриваемой пл-сти и проход. ч/з т.t₀ к касательной. Положит. направление нормали N задается так, чтобы направление Т касательной, идущее в сторону возрастания t, и N образовали систему, ориентированную так же, как система осей координат x,y (напр. касат-ной T д/совпасть с положит. напр. оси х, а N- с положит. напр. оси y).

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

нормаль

N No



касательная плоскость

Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

Определение. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

.

Уравнение нормали к поверхности в этой точке: