Вопрос№11 Дифференцируемость и дифференциалы ф-ций 1-й и многих переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала.
Пусть функция
дифференцируема в точке
,
тогда приращение
в этой точке может быть представлено в
виде
(1) .
Первое слагаемое правой части
приведенной формулы является бесконечно
малой первого порядка, а второе слагаемое
– бесконечно малой более высокого
порядка , иными словами, величина
является главной частью приращения
,
обусловленного приращением аргумента
.
Th1. Дифференциалом
функции
в точке
называется главная линейная часть
приращения функции в этой точке:
.
Поскольку
, то эту формулу можно переписать в виде
. (2)
Таким образом, дифференциалом
независимой переменной
будем называть приращение этой переменной
,
т.е. соотношение (2) принимает вид
. (3)
Из равенства (3) производную
в любой точке
можно
вычислить как отношение дифференциала
к дифференциалу независимой переменной
:
. (4)
Тогда равенство (1) можно переписать в
виде
,
(5)
что полностью соответствует определению дифференциала функции.
Дифференциал функции многих переменных.
Опр. Дифференциалом функции называется
сумма произведений частных производных
этой функции на приращения соответствующих
независимых переменных, т.е.
, (6)
или, учитывая, что
можно записать в виде
. (7)
Опр. Функция
называется дифференцируемой в точке
,
если ее полное приращение может быть
представлено в виде
(8)
где
-
дифференциал функции,
- бесконечно малые при
.
Таким образом, дифференциал функции
нескольких переменных, как и в случае
одной переменной, представляет главную,
линейную часть относительно приращений
,
часть полного приращения функции.
Следует заметить, что для функции нескольких переменных существование частных производных является необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции. Приведенная ниже теорема выражает достаточное условие дифференцируемости.
Th. Если частные
производные функции
существуют в окрестности точки
и непрерывны в самой точке
,
то функция
дифференцируема в этой точке.
Теорема об инвариантной форме первого дифференциала.
df(x)=f’(x)dx
Доказательство:
1).
2).
Вопрос№12 Формула Лагранжа конечных прирашений.
Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и дифференцируема на открытом промежутке (a, b), то можно найти такую точку c, принадлежащую промежутку (a, b), для которой справедливо равенство:
f(b) - f(a)
=
f``(c)(b
- a).
(1)
Э
та
формула называется формулой конечных
приращений Лагранжа. Проведем наглядное
обоснование этой формулы. Возьмем на
графике функции f(x) точки A(a;f(a))
и B(b;f(b)). Проведем
через эти точки прямую AB. Проведем также прямую L, параллельную прямой AB, так, чтобы она не пересекала график функции f(x) на промежутке (a, b).
Сохраняя параллельность L и AB, будем "надвигать" прямую L на график f(x) до тех пор, пока прямая L не коснется графика f(x) в некоторой точке c промежутка (a, b). Геометрическую точку касания обозначим буквой M, а через MN обозначим касательную к графику f(x), параллельную прямой AB. Очевидно, угловые коэффициенты прямых MN и AB (то есть тангенсы углов наклона прямых к оси абсцисс) равны. Угловой коэффициент прямой MN равен f`(c), а угловой коэффициент прямой AB равен (f(b) -f(a))/(b-a), и справедлива формула:
f `(c)=
Отсюда сразу получается формула (1). На приведенном рисунке видно, что могут существовать другие точки, принадлежащие промежутку (a, b), в которых касательные к графику функции f(x) параллельны прямой MN. Производную функции f(x), вычисленную в любой из этих точек, можно подставить в правую часть формулы (1) вместо множителя f`(c).