Вычисл-е 2-го инт. В полярных коорд-х

0 – полюс и полярная полуось, r – полярный радиус, φ – полярный угол; r=|OM|, r>0, 2π>φ 0 Полюс 0 полярной системы совмещается с началом коорд-т, полярной осью считается «+» часть Ох. R=arctg

x=rcos φ, y=rsin φ, , , т.к. tg – ф-я с периодом π, то формулу используют вместе с рисунком (определ. четверть)

Форм. перехода к полярн. коорд. в 2-м инт.

D – записан. в обл. D в полярн. коорд-х; r—преобразование; x=rcos φ, y=rsin φ

Якобиан – определитель матрицы частных производных.

Внешний всегда по φ. 1: r=r₁(φ), 2: r=r₂(φ) Стрелка рисуется из начала корд-т. Простейший частный случай, если область это круг с центром в нуле или круговой сектор.

13. замена переменных в 3ом интеграле. Якобиан. Вычисление интеграла в сферических и цилиндрических координатах.

Якобиан – определитель матрицы частных производных. Цилиндрич. Координаты

Формула перехода от декартовых коорд-т к цилиндрическим в , r-якобиан преобр-я – область V, записан. в цилиндрич. координатах. V цилиндра

Сфирические координаты ; |I|=r²sinθ

Формула перехода к сфирическим коорд. в 3-м интеграле.

14. криволинейные интегралы 1 и 2 рода. Свойства и вычисление. Длина дуги кривой.

15. площадь произвольной поверхности. Интегралы по площади. Свойства и вычисление.

Поверхностные интегралы I-го рода (инт. по площади поверхности)

Пусть в 3-х мерном простр-ве задана некотор. поверх-ть G. Пусть в каждой точки поверх-ти задано скалярное поле F(x,y,z). Разби- ваем поверх-ть на части G₁,G₂,..G_n не- котор. гладкими кривыми. На каждой части берется произв. точка и вычисл. в этих точках знач-е скалярого поля F(M_k)=F(x_k,y_k,z_k) образ. интегр. Сумма поверхностный интеграл 2 рода. Поток векторного поля. Примеры. Знач-е ф-и умнож. на полощадь соотв. части и произв. суммирование по k.

. Рассм. предел интегр. суммы при стремелении к 0 диаметра разбиения. Если этот предел сущ., коне- чен и не зависит ни от способа разби- ения, ни от выбора точек, то его наз. по- верхностн. инт. по площади поверх-ти (I-го рода)

Условие сущ-я: непрер-сть ф-и F(x,y,z) на замкнут., ограничен. поверх-ти(т.е. граница поверх-ти). Все св-ва инт. сохраняются. Вычисл-е поверхност. инт. I-го рода РИС.41

Пусть поверх-ть G

задана ур-ем

Z=Z(x,y). Пусть любая прямая, || оси Oz поверх-ть G только в одной точке. Пусть G_xy- проекция поверх-ти G на пл-ть Oxy, тогда поверхностн. инт. вычисл. по ф-ле:1)

2) , G_yx-проекция поверх-ти G на пл-ть Oyz. Предполаг., что прямые || оси Ox поверх-ть в одной точке.

;3)y=y(x,y); G_xy-проекция поверх-ти G на пл-ть Oxy.

Геометрич., физич. смысл 1) , то поверх-ть интег-я I-го рода, то инт. представл. собой площадь поверх-ти: ; 2)Если -это плот- ность массы, распредел. по по- верх-ти, то поверх-ть интегр-я представ. собой массу: ; 3)Если

плотность электрич. Заряда, распредел. по поверх-ти G, то представл собой суммарн. эл. заряд поверх-ти.

16. поверхностный интеграл 2 рода. Поток векторного поля. Примеры.

Вычисление поверх. инт. II рода

. Знак выбир. в зависим от : если , то «+»

если , то «-». 1)Двойной инт. (справа) рассм. по G_yz- проекция поверх-ти G на пл-ть Oyz; 2)Под- ставляем в функцию x=x(y,z); 3)Выбир. знак по . знак выбир. в зависим-ти от . знак в зависим-ти от .

17. скалярные и векторные поля, их основные характеристики: линии и поверхности уровня, градиент, дивергенция, ротор, циркуляция и др. виды полей.

18. теорема Остроградского – Гаусса, следствия из нее.

19. формулы Стокса и Грина, следствия из них.