- •Раздел 1. Введение в курс
- •Раздел 2. Растяжение и сжатие
- •Раздел 3. Напряженное и деформированное состояние в точке
- •3. Напряжение и деформированное состояние, свойства (характеристики) материала.
- •Различают три вида напряженного состояния:
- •Деформации при объемном напряженном состоянии.
- •Изменение объема при объемном напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука.
- •Потенциальная энергия деформации
- •Теории прочности
- •Раздел 4. Сдвиг. Кручение Чистый сдвиг
- •Кручение
- •Кручение бруса прямоугольного сечения
- •Чистый сдвиг. Напряжение и деформация при сдвиге.
- •Кручение бруса круглого, поперечного сечения. Напряжение и деформация при кручении. Определение максимальных касательных напряжений.
- •Расчёт валов на прочность и жёсткость при кручении.
- •Раздел 5. Геометрические характеристики плоских сечений.
- •Просуммировав (проинтегрировав) такие произведения по всей площади фигуры, получаем статические моменты относительно осей y и X: ; [см3, м3, т.Д.].
- •Моменты инерции сечения
- •М оменты инерции относительно параллельных осей:
- •Зависимость между моментами инерции при повороте осей:
- •Моменты сопротивления.
Раздел 2. Растяжение и сжатие
Растяжение. Основные понятия, допущения и зависимости.
Растяжение – это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении растянутого тела действуют только продольные силы N. Прямой брус, работающий на растяжение, наз-ся стержнем.
Согласно методу сечений рассечём растянутый стержень и отбросим его левую часть, то для уравновешивания внешней силы F (равнодействующая сис-ма сил крепления образца) достаточно в сечении приложить только один внутренний силовой фактор – нормальную силу N.
N=F – условие равновесия. Остальные внутренние силовые факторы в данном случае равны 0. При растяжении стержень нах-ся в напряжённом состоянии. Напряжение при растяжении σ=N/S, где S – площадь поперечного сечения. Нормальное напряжение направлено также как и нормальная сила.
Ряд допущений:
- по всей длине участка действ. внутр. сила;
- внутр. сила по попереч. сечению распределена равномерно;
- по всей длине участка l значение деформации ∆ l и Е постоянны.
Если в рез-те алгебраич-го сложения проекций внешних сил получилось, что N>0, то нормальная сила направлена от сечения и стержень в этом сечении испытывает растяжение; иначе стержень испытывает сжатие.
Если стержень нагружен большим числом осевых сил направленных в противоположные стороны, то применяется правило знаков при определении нормальной силы: проекции внешних сил, направленных от сечения, положительны и, наоборот.
П ри переходе от одного сечения к другому нормальная сила изменяется, поэтому строят графики изменения значения нормальной силы N по длине бруса, кот. наз-ся эпюрами.
Растяжение, закон Гука. Основные понятия и зависимости, влияние на абсолютное удлинение стержня.
Растяжение – это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении растянутого тела действуют только продольные силы N.
Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы. l – начальная длина, b – начальная ширина, ∆ l – абсолютное удлинение, ∆b – абсолютное сужение.
Относительная продольная деформация Ε:
Ε=∆l/l.
При растяжении тела происходит изменение его поперечного сечения, т.е. сужение. Линейная (поперечная) деформация:
Ε1=∆b/b.
Данные деформации учитывают в точных расчётах.
μ=Ε1/Ε – коэф-т относительной деформации, или коэф-т Пуассона, - хар-ка пластичности материала.
В пределах упругих деформаций между нормальным напряжением и продольной деформацией сущ-ет прямопропорциональная зависимость (Закон Гука): σ=ΕΕ, где Е – модуль упругости (модуль Юнга), хар-ет жёсткость материала, т.е. сопсобность сопротивляться деформациям, Па.
Так как σ=F/S, то получим зависимость между нагрузкой, размерами стержня и возникающей деформацией: F/S= Е ∆l/l, откуда ∆l= Fl/ Е S. Произведение Е S наз-ют жёсткостью сечения. Следовательно, абсолют. удлинение стержня прямо пропорционально вел-не продольной силы в сечении, длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.
Деформация при растяжении (продольные, поперечные, коэф-т Пуассона).
Растяжение – это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении растянутого тела действуют только продольные силы N. Деформация – когда деталь изменяет линейные размеры и больше не возвращается в начальное состояние.
Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы. l – начальная длина, b – начальная ширина, ∆ l – абсолютное удлинение, ∆b – абсолютное сужение.
Относительная продольная деформация Ε:
Ε=∆l/l.
П ри растяжении тела происходит изменение его поперечного сечения, т.е. сужение. Линейная (поперечная) деформация:
Ε1=∆b/b. Е и Е1 безразмерные величины.
Данные деформации учитывают в точных расчётах.
μ=Ε1/Ε – коэф-т относительной деформации, или коэф-т Пуассона, - хар-ка пластичности материала. Его величина находится в пределах 0…0,5 (для пробки μ=0, для резины μ=0,5).
Растяжение. Напряжение на наклонной поверхности стержня.
Растяжение – это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении растянутого тела действуют только продольные силы N.
Разрежем стержень по сечению под углом α с осью Oy и отбросим левую часть. Правая часть сохраняет равновесие , так как сила F, действующая на перпендик. оси Ox площадку ∆S, уравновешивается силой F, действующей на наклонную площадку ∆S’=∆S/cosα, т.е. σ∆S=Р∆S/ cosα.
В озникшее на наклонной площадке полное напряжение Р= σ cosα..
Разложив напряжение Р на 2 составляющих, находим нормальное и касательное напряжения: σα=Р cosα= σ cos2α и τα=Рsinα=0,5 σsin2α.
Из формул следует:
При α=0: σα= σ, τα=0
При α=45: σα= 0,5σ, τα=0,5σ
При α=90: σα=0, τα=0
Значит, максимальное нормальное напряжение возникает в поперечных сечениях бруса; максимальное касательное напряжение возникает в сечениях, наклоненных к оси стержня под углом 45.
Определение деформации стержня под нагрузкой и сравнение её с допускаемой наз-ют расчётом на жёсткость. А также проводят расчет на прочность стержня.
Г ипотеза Бернулли; Поперечное сечение бруса плоское до деформации остается плоским и после деформации, тоесть продольные волокна удлиняются на одну и ту же величину.
Продольная деформация-изменение длины бруса в направлении действия силы
Поперечная деформация-изменение длины бруса перпендикулярно направлению действия силы
Абсолютная продольная деформация (удлинение)- Δ L=L1-L [M], [CM]
Относительная продольная деформация (удлинение)- εx=Δl/l
Абсолютная поперечная деформация - Δа=а1-а, Δв =в1-в[Б/Р]
Относительная поперечная деформация: εy=Δa/a
εz=Δb/b.
Коэффициент Пуассона: υ=|εy/εx|
Коэффициент Пуассона характеризует физ. свойства материалов – способность сопротивляться поперечной деформации
Закон Гука: σ =εE
Е- коэффициент пропорциональности, модуль Юнга, модуль продольной упругости или модуль упругости первого рода характеризует физ, свойства материалов- способность сопротивляться продольной деформации..
Условие прочности: σ ≤[ σ]
Условие жесткости: Δl≤[l]
Растяжение и сжатие
N = F
— нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м2,
106Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм2
N — продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F — площадь сечения [м2]
— относительная деформация [безразмерная величина];
L — продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L — длина стержня [м].
— закон Гука — = Е
Е — модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа]. Для стали Е= 2105МПа = 2106 кг/см2 (в "старой" системе единиц).
(чем больше Е, тем менее растяжимый материал)
; — закон Гука
EF — жесткость стержня при растяжении (сжатии).
При растяжении стержня он "утоньшается", его ширина — а уменьшается на поперечную деформацию — а.
— относительная поперечная деформация.
— коэффициент Пуассона [безразмерная величина];
лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (каучук); для стали 0,250,3.
Если продольная сила и поперечное сечение не постоянны, то удлинение стержня:
Работа при растяжении: , потенциальная энергия:
Учет собственного веса стержня
Продольная сила N(z) = P + FL;
Р — сила, действующая на стержень, — удельный вес, F — площадь сечения.
Максимальное напряжение: . Деформация:
Условие прочности при растяжении (сжатии) max [],
[] — допускаемое напряжение на растяжение (сжатие).
У чугуна [раст][сж], у стали и др. пластичных материалов [раст]=[сж].
Механические хар-ки. Диаграмма растяжения.
Н а диаграмме растяжения фиксир-ся растяжение конкретного материала до его полного разрушения, с целью оценки характерных механич. хар-к материала. Деформация исследуется для упругопластичного материала (н-р, малоуглерод.сталь)
Т. А соот-ет предел пропорциональности (это максимальное напряжение до которого материал соответствует закону Гука): σпц=Fпц/S.
Т. Б соот-ет предел упругости (это такое максимальное напряжение, при кот. после снятия нагрузки материал вернётся в исходное состояние): σупр=Fупр/S. Область упругих деформаций.
Т. С соот-ет предел текучести (это такое напряжение, при кот. без видимого изменения нагрузки материал течёт). Если снять нагрузку, то материал вернётся в положение Е1. Область остаточных деформаций.
После т. С необходимо приложить дополнит. силу до т. Д – это зона упрочнения. Т. Д – временный предел прочности (максимальное напряжение, при кот. материал не разрушается). Если снять нагрузку в т. Д, то материал вернётся в положение Е2, и его использовать нельзя.
Т. Е – разрушение образца.
Tgα – модуль упругости.
Испытание материалов на сжатие
Наряду с испытанием на растяжение большое распространение имеет испытание материала на сжатие, которое применяется главным образом для хрупких материалов. Разрушение хрупких материалов при сжатии так же , как и п ри растяжении, происходит при незначительных остаточных деформациях.
На рис.7 показаны диаграммы сжатия и растяжения (штриховой линией) чугуна. Для чугуна, как и для других хрупких материалов, основной характеристикой прочности при растяжении и сжатии является предел прочности Опч. Хрупкие материалы значительно лучше сопротивляются деформации сжатия, чем деформации растяжения. Механические характеристики большинства пластичных материалов при растяжении и сжатии примерно одинаковы и они, как правило, определяются испытанием на растяжение.