12.Общее уравнение прямой на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов.

Вектор, перпендикулярный прямой, называют нормальным вектором прямой.

- )* =0 — вект. ур-е прямой.

A — ур-е проходит ч-з т.

— Общее уравнение прямой.

A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

• Если В=0, то уравнение имеет вид или . Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку

• Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом .

• Если А=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.

• Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).

Нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой можно записать в виде:

Т.к. ; , то:

Угол между прямыми.

Дано: прямые L₁ и L₂ с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между прямыми:

13.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в отрезках.

Уравнение с угловым коэффициентом.

y1-y0=k(x1-x0)

k= tg α – угловой коэффициент.

Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид

Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох.

Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид и пройдет параллельно оси оу.

Уравнение прямой в отрезках.

К (а;0); М (0;b)

Подставим точки в уравнение прямой:

14. Параметрическое уравнение прямой.

— векторно-парам-е ур-е прямой

— парам-е ур-е прямой

= — каноническое ур-е прямой.

4) — уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

15.Взаимное расположение пары прямых на плоскости и угол между ними.

Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.Получим условие коллинеарности двух прямых и , заданных общими уравнениями: Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых (3.19) является условие коллинеарности их нормалей и . Следовательно, если прямые (3.19) коллинеарны, то , т.е. существует такое число , что = и наоборот.

Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо . Тогда первое уравнение в (3.19) имеет вид , т.е. равносильно второму, поскольку .

Таким образом, прямые (3.19) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число , что , но . Прямые (3.19) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:

1) если , то прямые  и  совпадают;

2) если , то прямые   и параллельные;

3) если , то прямые пересекаются.

Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя прямыми удовлетворяет условию

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: то угол между ними (один из смежных углов) находится по формуле

Если (условие параллельности прямых),то . Если (условие перпендикулярности прямых), то правая часть не определена . Тогда полагают, .