5..Аффинные координаты. Декартовы прямоугольные координаты.
Пусть
в пространстве фиксирована точка
.
Совокупность точки
и
базиса называется аффинной
(декартовой) системой координат:
– аффинная
система координат на прямой - это точка
и
ненулевой вектор
на
прямой (базис на прямой);
– аффинная
система координат на плоскости - это
точка
и
два неколпинеарных вектора
,
взятые в определенном порядке (базис
на плоскости);
– аффинная
система координат в пространстве - это
точка
и
три некомпланарных вектора
,
взятые в определенном порядке (базис
в пространстве).
Точка
называется началом
координат.
Прямые, проходящие через начало координат
в направлении базисных векторов,
называются координатными
осями:
—
ось абсцисс,
—
ось ординат,
—
ось аппликат.
Плоскости, проходящие через две
координатные оси, называются координатными
плоскостями.
Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если её базис — левый.
Аффинная
система координат называется
прямоугольной,
если ее базис ортонормированный. Выбирая
стандартные базисы получаем:
—
прямоугольную
систему координат на прямой
— это точка
и
единичный вектор
на
прямой. Точки
и
на координатной оси
обозначаются
и
;
—
прямоугольную
систему координат на плоскости
— это точка
и
два взаимно перпендикулярных единичных
вектора
и
на
плоскости (вектор
—
первый базисный вектор, a
—
второй; пара векторов
—
правая). Координатные оси
(абсцисс)
и
(ординат)
разбивают плоскость на 4 части, называемые
квадрантами
(четвертями).
Точка
,
например, принадлежит
четверти;
—
прямоугольную
систему координат в пространстве
— это точка
и
три попарно перпендикулярных единичных
вектора
(вектор
—
первый базисный вектор,
—
второй, а
—
третий; тройка векторов
—
правая). Координатные оси обозначаются:
—
ось абсцисс,
—
ось ординат,
—
ось аппликат. Координатные плоскости
,
проходящие через пары координатных
осей, разбивают пространство на 8
октантов.
Точка
,
например, принадлежит
октанту.Прямоугольные
системы координат обозначают также
указанием начала координат и координатных
осей, например,
.
6..Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.
Cв-ва:
3.
Векторы а и в наз-ся ортогональными, если угол м-ду ними равен 90 градусов.
Теорема: Два ненулевых вектора ортогональны, если их СПВ =0.
а*в=
cosφ=
7.. Векторное произведение векторов и его свойства.
Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1) |c|=|a|*|b|*sinj. 2) c^a и c^b. 3) тройка а,в,с-правая.
Св-ва: 1)Вект. произв-е численно равно площади параллепипеда, постр. на этих вект-х.2)а*в=-в*а.3) (α*а)*в=α*(а*в).
Теорема: Два в-ра коллинеарны тогда, когда их вект. произв-е =0.
Теорема:
