29.Теоремы о поэлементном дифференцировании и интегрировании степенного ряда.

Пусть функция является суммой ср. (30.1) на

Тогда 1) дифференцируема на причем

сходится абсолютно в этом интервале;

2) интегрируема на том же интервале, причем для   имеем

30.Ряд Тейлора. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех выполняется условие при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.

31.Разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций.

Если существует  , то говорят, что сходится бесконечный ряд   (другое обозначение  ) (2) и его сумма равна  .

Если же    не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины   называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится Û существует предел его частичных сумм.