6.Необходимый признак сходимости. Пример.

Если ряд   сходится, то его общий член   стремится к нулю, т.е.  . Пусть ряд   сходится и  . Тогда и  . Учитывая, что   при n>1, получаем:  . Следствие (достаточное условие расходимости ряда) Если   или этот предел не существует, то ряд расходится. Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме)  . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится. Теорема о сходимости дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия   не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых  . В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд Очевидно, что  . Однако ряд расходится.

Докажем, что ряд из первого примера   расходится. Общий член ряда:  Вывод: ряд   расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

7.Остаток ряда. Теорема о сходимости ряда и его остатка.

Теорема: (об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n–й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n+1)–го члена ряда.

Рассмотрим сходящийся ряд

Вычисление суммы ряда  обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут Sn:S»Sn. Точность последнего равенства возрастает с увеличением n.

Определение: Если числовой ряд сходится, то разность Rn=S–Sn называется n–м остатком ряда.

Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:

Rn=Un+1+Un+2+…

Заметим, что  .

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна |Rn|=|S–Sn|.

Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до e>0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие: |Rn|<e.

Однако в общем случает находить точно Rn не удается.

8.Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости. 2. Если ряд   сходится, то  . 3. Если ряд   сходится, то сходится ряд   и имеет место равенство . 4. Если ряды   и   сходятся, то сходится и ряд    имеет место равенство . 5. Если ряд   сходится, то  .

9.Исследование сходимости и сочетательного свойства ряда (-1)ⁿ.

В общий член ряда входит множитель  , а значит, нужно использовать признак Лейбница

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно =-1+1-1+1  и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел  , который чаще всего является очень простым. An=0 Вывод: ряд сходится.