
- •Часть 1.
- •1.Несобственный интеграл I рода – определение и геометрический смысл.
- •2.Свойства несобственных интегралов I рода.
- •3.Главное значение несобственного интеграла I рода с двумя бесконечными пределами.
- •4.Признаки сходимости несобственных интегралов I рода. Интегралы Дирихле.
- •5.Определение числового ряда. Сумма ряда, сходящийся и расходящийся ряды.
- •6.Необходимый признак сходимости. Пример.
- •7.Остаток ряда. Теорема о сходимости ряда и его остатка.
- •8.Свойства сходящихся рядов.
- •10.Сходимость ряда геометрической прогрессии.
- •11.Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости.
- •12.Интегральный признак сходимости. Ряды Дирихле.
- •13.Первый признак сравнения. Пример.
- •14.Второй (предельный) признак сравнения. Пример.
- •15.Признак Даламбера.
- •16.Признак Коши.
- •17.Ряды с элементами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость.
- •22.Функциональный ряд, его область сходимости. Сумма функционального ряда.
- •23.Отыскание области сходимости функционального ряда (пример).
- •24.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.
- •25.Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
- •26.Поэлементное интегрирование и дифференцирование равномерно сходящегося ряда.
- •27.Степенные ряды. Первая теорема Абеля.
- •28.Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Непрерывность суммы степенного ряда.
- •29.Теоремы о поэлементном дифференцировании и интегрировании степенного ряда.
- •30.Ряд Тейлора. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
- •31.Разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций.
Часть 1.
1.Несобственный интеграл I рода – определение и геометрический смысл.
Пусть
f определена и непрерывна на множестве
от
и
.
Тогда:
Если
,
то используется обозначение
и интеграл называется несобственным
интегралом Римана первого рода. В этом
случае
называется
сходящимся.
Если
не существует конечного
,
то интеграл
называется
расходящимся к
,
или просто расходящимся.
Пусть
f определена и непрерывна на множестве
от
.
Тогда:
Если
,
то используется обозначение
и
интеграл называется несобственным
интегралом Римана первого рода. В этом
случае
называется
сходящимся.
Если
не существует конечного
,
то интеграл
называется
расходящимся к
,
или просто расходящимся.
Если функция f определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:
,
где с — произвольное число.
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
2.Свойства несобственных интегралов I рода.
1. Если
существует
,
то
существует
.
При этом
.
2. Если
существует
,
то
.
3. Если
существует
,
то существует
.
4. Если
существуют
и
,
то существует
3.Главное значение несобственного интеграла I рода с двумя бесконечными пределами.
Найти
v.p.
.
Может
оказаться, что несобственного интеграла
в смысле
нет, но существует интеграл в смысле а
= b,
,
и это значение интеграла называется его главным значением:
.
Если функция f(x) нечётная, то интеграл по симметричному промежутку (- а, + а) равен нулю, и поэтому для нечётной функции
.
Если функция f(x) чётная, то интеграл по симметричному промежутку (- а, + а) равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка интегрирования, и поэтому для чётной функции
.
Например,
.
4.Признаки сходимости несобственных интегралов I рода. Интегралы Дирихле.
Если
несобственный интеграл равен конечному
числу, говорят что он сходится, если
равен
или
не существует, то говорят что он не
сходится.
Пусть
и
непрерывны
на
и
.
Тогда:
1)Из сходимости большего интеграла следует сходимость, меньшего интеграла
2)Из расходимости меньшего интеграла следует расходимость большего интеграла.
Интегралы Дирихле
Пусть выполнены условия:
функция
Тогда |
Очевидно,
что вместо второго условия можно также
записать
.
Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.
Однако, условие монотонности не является необходимым.
—
сходится.
Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.
5.Определение числового ряда. Сумма ряда, сходящийся и расходящийся ряды.
Числовым
рядом называется
выражение вида
где
–
действительные или комплексные числа,
называемые членами
ряда,
- общим
членом ряда.
Ряд
считается заданным, если известен общий
член ряда
,
выраженный как функция его номера n:
.
Сумма
первых n членов
ряда называется n-й частичной
суммой ряда
и обозначается через
,
т.е.
Если существует конечный
предел
последовательности
частичных сумм ряда
,
то этот предел называют суммой
ряда и
говорят, что ряд сходится.
Записывают:
Если
не
существует или
=
,
то ряд называют расходящимся.
Такой ряд суммы не имеет.