Часть 1.

1.Несобственный интеграл I рода – определение и геометрический смысл.

Пусть f определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.

Если не существует конечного  , то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Пусть f определена и непрерывна на множестве от  . Тогда:

Если  , то используется обозначение    и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.

Если не существует конечного  , то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Если функция f определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

2.Свойства несобственных интегралов I рода.

1. Если существует   , то    существует  . При этом

.

2. Если существует   , то  .

3. Если существует , то существует   .

4. Если существуют     и  , то существует

3.Главное значение несобственного интеграла I рода с двумя бесконечными пределами.

Найти v.p. .

Может оказаться, что несобственного интеграла в смысле нет, но существует интеграл в смысле а = b,

,

и это значение интеграла называется его главным значением:

.

Если функция f(x) нечётная, то интеграл по симметричному промежутку (- а, + а) равен нулю, и поэтому для нечётной функции

.

Если функция f(x) чётная, то интеграл по симметричному промежутку (- а, + а) равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка интегрирования, и поэтому для чётной функции

.

Например,

.

4.Признаки сходимости несобственных интегралов I рода. Интегралы Дирихле.

Если несобственный интеграл равен конечному числу, говорят что он сходится, если равен   или не существует, то говорят что он не сходится.

Пусть   и   непрерывны на   и  . Тогда:

1)Из сходимости большего интеграла следует сходимость, меньшего интеграла

2)Из расходимости меньшего интеграла следует расходимость большего интеграла.

Интегралы Дирихле

Пусть выполнены условия: и имеет на   ограниченную первообразную F, то есть ; функция  ; . Тогда   сходится.

Очевидно, что вместо второго условия можно также записать  .

Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

— сходится.

Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

5.Определение числового ряда. Сумма ряда, сходящийся и расходящийся ряды.

Числовым рядом называется выражение вида где  – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,   - общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда  , выраженный как функция его номера n:  . Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через  , т.е.    Если существует конечный предел   последовательности частичных сумм ряда  , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают:  Если   не существует или  = , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.