Законы Кеплера

Из курса астрономии известно, что планеты солнечной системы обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, которые по форме близки к окружностям. Эти орбиты лежат почти в одной плоскости. Большинство планет солнечной системы имеют естественные спутники, а вокруг Земли кроме Луны обращается большое количество искусственных спутников.

Движение планет, их спутников и искусственных небесных тел подчиняется общим закономерностям. Законы движения планет были открыты в начале XVII в. немецким ученым Кеплером. Законы Кеплера формулируют так.

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон: радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади.

Третий закон: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.

Влияние скорости тела на форму орбиты. Космические скорости.

На основе законов Кеплера, а также наблюдений за движением Луны Ньютон установил закон всемирного тяготения. Выяснилось, что под действием взаимного тяготения тела могут двигаться друг относительно Друга по эллипсу, параболе и гиперболе. Вид траектории (форма орбиты), по которой движется тело под действием силы тяготения, зависит от его скорости. В частности, при определенной скорости тело будет двигаться в поле тяготения другого тела по окружности.

Скорость, которую надо сообщить телу при запуске с какой-либо планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником и при этом двигалось по окружности, центр которой совпадает с центром данной планеты, называют первой космической. Для разных планет значения первой космической скорости различны. Определим первую космическую скорость для Земли.

Н а рисунке схематически изображено движение искусственного спутника (ИС) по круговой орбите на высоте h над поверхностью Земли (R - радиус Земли, а v₁ - первая космическая скорость спутника).

Поскольку спутник движется равномерно по окружности радиуса r=R+h, его центростремительное ускорение, вызываемое силой тяготения Земли, составляет

a=v₁²/r= v₁²/(R+h).    (2.34)

Модуль силы тяготения

F_т=GMm/r²=GMm/(R+h)².    (2.35)

где m - масса спутника; М - масса Земли; G - гравитационная постоянная. Согласно второму закону Ньютона, a=F/m, следовательно,

a=GM/(R+h)².    (2.36)

Из 2.34 и 2.36 находим, что

v₁=[GM/(r+h)].    (2.37)

По формуле (2.37) определяют значение первой космической скорости по высоте h над поверхностью Земли. Определим значение первой космической скорости у поверхности Земли (h=0). Из (2.37) следует, что при h=0

v₁=[GM/r].    (2.38)

У поверхности Земли g=GM/r². В итоге получаем

v₁=[gR].     (2.39)

Подставив значения величин g и R найдем, что у поверхности Земли первая космическая скорость v₁=7,9 км/с.

Итак, тело, скорость которого равна 7,9 км/с и направлена горизонтально относительно поверхности Земли, становится искусственным спутником, движущимся по круговой орбите на небольшой высоте над Землей.

Скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно, преодолев притяжение планеты, превратилось в спутник Солнца, называют второй космической. Для Земли вторая космическая скорость v₂=11,2 км/ч.

При значении скорости, большем 7,9 км/с, но меньшем 11,2 км/с, орбита спутника Земли является эллиптической. Развив скорость 11,2 км/с, тело начнет двигаться по параболе (рис. 27) и больше не вернется к Земле.

При скорости относительно Земли, большей чем 11,2 км/с, тело движется по гиперболе. При определенном значении скорости тело может покинуть пределы солнечной системы.