§ 5. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций

5.1. Замечательные пределы

Многие задачи математического анализа связаны с первым замечательным пределом.

Рис. 5.1

Рассмотрим в координатной плоскости окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 5.1). Обозначим через x, где x∈(0,π2), величину острого угла ∠AOB в радианах. Тогда длина дуги AB⌣равна x. Пусть S1, S2, S3 - площади треугольника AOB, сектора AOB и треугольника COBсоответственно, причём S1=12OB⋅AD=12sinx, S2=12(OB)2x=12x,S3=12OB⋅BC=12tgx. Очевидно, что площади S1, S2, S3 связаны соотношением

S1<S2<S3,

или

12sinx<12x<12tgx.

Отсюда sinx<x<tgx. Если x∈(0,π2), то sinx>0. Следовательно, 1<xsinx<1cosx, илиcosx<sinxx<1. Полученные неравенства справедливы и при x∈(−π2,0) в силу чётности функций sinxxи cosx. Так как limx→0cosx=limx→01=1, то по  теореме 4.16 о пределе промежуточной функции имеем

limx→0sinxx=1.(5.1)

Этот предел и называют первым замечательным пределом.

Приведём некоторые пределы, которые можно свести к пределу (5.1) после перехода к новой переменной (см.  теорему 4.3):

1)  limx→asin(x−a)x−a=limt→0sintt=1,  t=x−a→0 при x→a;

2)  limx→0sinkxkx=limt→0sintt=1,  t=kx→0 при x→0;

3) limx→asinα(x)α(x)=limt→0sintt=1,  t=α(x)→0 при x→a и α(x)≠0 в некоторой окрестности точки x=a.

Пример 5.1.

Найти limx→01−cosxx2.

Р е ш е н и е.

 В данном случае имеем неопределённость вида [00]. Преобразуем дробь и воспользуемся замечанием 4.5 о пределе степенной функции:

limx→01−cosxx2=limx→02sin2x2x2=limx→012⋅(sinx2x2)2=12limx→0(sinx2x2)2=12(limx→0sinx2x2)2=12⋅12=12.

Ко второму замечательному пределу приходят, рассматривая числовую последовательностьxn=(1+1n)n, n=1,2,... Доказано, что эта последовательность имеет пределом иррациональное число, обозначаемое буквой e, т. е.

limn→∞(1+1n)n=e,

где e≈2.718282... Доказано также, что предел функции limx→∞(1+1x)x при x→∞ тоже равен e, т.е.

limx→∞(1+1x)x=e.(5.2)

Этот предел называют вторым замечательным пределом. Величина e может быть определена численным методом с любой степенью точности.

Если положить α=1x (α→0 при x→∞), то предел (5.2) можно записать в виде

limα→0(1+α)1α=e.(5.3)

Заметим, что показательную функцию ax с основанием a=e, т.е. функцию ex, часто записывают в видеex≡exp{x}. В частности, e=e1=exp{1}.

Рассмотрим функцию f(x)=(1+α(x))1α(x). Пусть α(x)→0 при x→a и α(x)≠0 в некоторой окрестности точки x=a. Тогда, переходя к новой переменной α=α(x), получим

limx→af(x)=limx→a(1+α(x))1α(x)=limα→0(1+α)1α=e=exp{1}.    (5.4)

Пример 5.2.

Найти limx→∞(x+3x−1)x−1.

Р е ш е н и е.

 Преобразуем дробь, выделяя единицу в данной неправильной дроби:

x+3x−1=1+(x+3x−1−1)=1+x+3−x+1x−1=1+4x−1.

Запишем показатель функции, стоящей под знаком предела, в виде x−1=x−14⋅4.Обозначая α=4x−1, где α→0 при x→∞, и учитывая  замечание 4.5, найдём

limx→∞(x+3x−1)x−1=limx→∞⎛⎝(1+4x−1)x−14⎞⎠4=limα→0((1+α)1α)4=e4.

Пусть (f(x))ϕ(x) (f(x)>0) — показательно-степенная функция, A,B∈ℝ, a — число или один из символов ∞, +∞, −∞. Можно доказать, что

1) если limx→af(x)=A, limx→aϕ(x)=B, то

limx→a(f(x))ϕ(x)=(limx→af(x))limx→aϕ(x)=AB;(5.5)

2) если limx→af(x)=A>1 (или A<1), limx→aϕ(x)=+∞, то

limx→a(f(x))ϕ(x)=+∞; (или 0);(5.6)

3) если limx→af(x)=A>1 (или A<1), limx→aϕ(x)=−∞, то

limx→a(f(x))ϕ(x)=0; (или +∞);(5.7)

Если limx→af(x)=A=1, limx→aϕ(x)=∞, то имеет место неопределённость вида [1∞] (см.  замечание 4.1). Эту неопределённость можно раскрыть, используя второй замечательный предел. Полагаемf(x)=1+α(x), где α(x)→0 при x→a и α(x)≠0 в некоторой окрестности точки x=a.Преобразуя функцию под знаком предела и учитывая  формулу (5.4), получим

limx→a(f(x))ϕ(x)=limx→a((1+α(x))1α(x)⋅α(x)⋅ϕ(x))==(limx→a(1+α(x))1α(x))limx→aα(x)⋅ϕ(x)=limα→0((1+α)1α)limx→aα(x)⋅ϕ(x)==exp{limx→a(α(x)ϕ(x))}=exp{limx→a((f(x)−1)ϕ(x))}.    (5.8)

Пример 5.3.

Найти limx→∞(x+4x+1)x+5.

Р е ш е н и е.

 Имеем неопределённость вида [1∞]. Преобразуем функцию под знаком предела:

(x+4x+1)x+5=(1+(x+4x+1−1))x+5=(1+3x+1)x+13⋅3(x+5)x+1=⎛⎝(1+3x+1)x+13⎞⎠3(x+5)x+1

Полагая α=3x+1, где α→0 при x→∞, получим

limx→∞(x+4x+1)x+5=limx→∞⎛⎝(1+3x+1)x+13⎞⎠3(x+5)x+1=⎛⎝limx→∞(1+3x+1)x+13⎞⎠limx→∞3(x+5)x+1==(limα→0(1+α)1α)limx→∞3(x+5)x+1=e3,

так как limx→∞3(x+5)x+1=3.

5.2. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть α(x) и β(x) — бесконечно малые функции при x→a, и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки a (a — число или один из символов ∞, −∞, +∞).

Определение 5.1.

Если limx→aα(x)β(x)=0, то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β(x)при x→a. В этом случае пишут: α(x)=o(β(x)) (α(x) есть o малое от β(x)) при x→a.

Определение 5.2.

Если limx→aα(x)β(x)=∞, то β(x) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с α(x)при x→a.

Например, функции α(x)=1x и β(x)=1x3 являются бесконечно малыми при x→∞. Так какlimx→∞1/x31/x=limx→∞1x2=0, то функция 1x3 есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с функцией 1x. Такой же вывод получим, если рассмотрим предел limx→∞1/x1/x3=limx→∞x2=∞.

Определение 5.3.

Если limx→aα(x)β(x)=A (A≠0, A≠∞), то α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка при x→a. Записывают: α(x)=O(β(x)) (α(x) есть O большое от β(x)) при x→a.

Например, функции α(x)=tg2x и β(x)=x являются бесконечно малыми одного порядка при x→0,так как

limx→0tg2xxlimx→0sin2xx⋅cos2x=limx→02sin2x2x⋅limx→01cos2x=2⋅1=2.

Определение 5.4.

Если limx→aα(x)(β(x))k=A (k>0, A≠0, A≠∞), то α(x) называется бесконечно малой порядка k по сравнению с бесконечно малой β(x) при x→a. Пишут: α(x)=O(βk(x)) (α(x) есть O большое отβk(x)) при x→a.

Пример 5.4.

Определить порядок бесконечно малой функции α(x)=1−cosx по сравнению с функциейβ(x)=x при x→0.

Р е ш е н и е.

 В  примере 5.1 найден limx→01−cosxx2=12. Следовательно, функция α(x)=1−cosx есть бесконечно малая второго порядка по сравнению с бесконечно малой β(x)=x приx→0.

Определение 5.5.

Бесконечно малые α(x) и β(x) при x→a называются несравнимыми между собой, если limx→aα(x)β(x) не существует.

Например, для функций α(x)=x2⋅sin1x и β(x)=x2, бесконечно малых при x→0, пределаlimx→0α(x)β(x)=limx→0x2⋅sin1xx2=limx→0sin1x не существует. Следовательно, эти бесконечно малые несравнимы.

Определение 5.6.

Две бесконечно малые функции α(x) и β(x) называются эквивалентными при x→a, если limx→aα(x)β(x)=1.Пишут: α(x)∼β(x) при x→a.

Пусть α(x) — бесконечно малая при x→a, т.е. limx→aα(x)=0. Приводимая таблица содержит основные соотношения эквивалентности бесконечно малых функций. Эти соотношения будут доказаны в этом и следующем параграфах для случая α(x)=x, a=0.

Таблица 5.1

limx→aα(x)=0
1	sinα(x)  ∼  α(x)
2	tgα(x)  ∼  α(x)
3	arcsinα(x)  ∼  α(x)
4	arctgα(x)  ∼  α(x)
5	ln(1+α(x))  ∼  α(x)
6	(1+α(x))p−1  ∼  pα(x), p∈ℝ, p≠0
7	aα(x)−1  ∼  α(x)⋅lna
8	eα(x)−1  ∼  α(x)

Приведем несколько примеров соотношений эквивалентности. Так, sin(x2−1)∼x2−1 при x→1(limx→1(x2−1)=0), ex−2−1∼x−2 при x→2 (limx→2(x−2)=0), ln(1+cosx)∼cosx при x→π2 (limx→π/2cosx=0).

Определение 5.7.

Пусть α(x), β(x) - бесконечно малые функции при x→a. Функция β(x) называется главной частью бесконечно малой α(x) при x→a, если α(x)=β(x)+o(β(x)) при x→a.

Пусть α(x)=10x+x2+x3, x→0. Обозначим β(x)=10x. Тогда α(x)=β(x)+x2+x3, где x2+x3=o(10x) при x→0. Следовательно, β(x)=10x - главная часть функции α(x).

Главная часть бесконечно малой функции определяется неоднозначно. Так, для вышеприведенной функции α(x)=10x+x2+x3 функция β1(x)=10x+x2 также является главной частью, так как x3=o(β1(x))=o(10x+x2) при x→0.