7) Исследование линейной зависимость векторов на плоскости и в пространстве.

8) Определение базиса векторов и координат вектора. Прямоугольная система координат.

Базис векторов - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества.

Координаты вектора - коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Прямоугольная, или Декартова система координат — наиболее простая и поэтому часто используемая система координат на плоскости и в пространстве.

На плоскости - прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

В пространстве - образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях.

9) Проекция вектора на ось. Координаты точки и вектора в прямоугольной системе.

10) Линейные действия над векторами в координатном представлении.

14) Вывод уравнения окружности

Пусть на плоскости введены прямоугольные координаты. Рассмотрим окружность радиусом r и с центром в точке C(a,b). Если точка M(x,y) принадлежит окружности, то её расстояние от центра равно r, т. е. MC = r.

Выразим MC через координаты точек M и C:

MC = Но MC = r => (x-a)2 + (y-b)2 = r2

15) Ах+Ву+С=0

16) Расстояние от прямой Ах + Ву + С = 0 до начала координат: р = |С| / А² + В²

Расстояние от произвольной точки М₀ (х₀, у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0: d = |А_х0 + В_у0 + С| / А² + В²

17) Эллипс – фигура, образованная точками плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от двух данных точек постоянна и больше расстояния между этими точками. х²/а² + у²/в² = 1.

Координата фокуса с = а² – в²

18) Гипербола – фигура, образованная точками плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками. Данные точки – фокусы, а расстояния между ними – фокальное расстояние.

• общее свойство точек |F₁M| – |F₂M| = 2a;

• переход к координатам дает каноническое уравнение гиперболы

х²/а² – у²/в² = 1.

19. Парабола – фигура, образованная точками плоскости, для каждой из которой расстояние до данной точки равно расстоянию до данной прямой, не проходящей через данную точку. Данная точка – фокус, а прямая – директриса.

• уравнение директрисы х = - р/2;

• общее свойство точек |MF| = |MN|;

• переход к координатам (х – р/2)² + у2 = х + р/2, у² = 2рх.

20. Преобразование координат на плоскости.

Параллельный перенос системы координат. Имеем прямоуголь-ную систему координат ХУ с центром в точке О (0, 0). Через некоторую точку О* (а, в) проведем новые оси координат, параллельные Х и У, сохранив направление и масштаб. Координаты произвольной точки М (х, у) в новой системе координат Х*У* примут значения

х* = х – а или х = х* + а

у* = у – в у = у* + в

т.е. параллельный перенос системы координат приводит к линейным преобразованиям координат.

Поворот системы координат. Систему координат ХУ с ортами i, j повернем на угол относительно начала координат и введем новые орты i*, j*. Выразим старые орты через новые

i = cos  i* - sin  j*

j = sin  i* + cos  j*

Радиус-вектор произвольной точки М (х, у) разложим по ортам i, j и перейдем от них к ортам i*, j*.

ОМ = {х, у} = хi + уj = x (cos  i* - sin  j*) + y (sin  i* + cos  j*) = (x cos  + y sin a) i* + (-x sin  + y cos ) j* = {x*, y*}

В результате получаем формулу преобразования координат при повороте осей на угол :

х* = х cos  + y sin 

y* = -x sin  + y cos 