Обратная матрица (определение вычисление единственности). Вырожденные матрицы. Св-ва обратных матриц.

Опр. Матрица В называется обратной матрицы А, если выполняется следующее равенство: . Обратную матрицу имеют только невырожденные матрицы (detA ).

или

На j-том месте в последней матрице стоит i-тая строка detA^’=0. Разлагаем detA^’=0 по j-той строке: , т.е. сумма произведений элементов любой строки на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю. Теорема (о нахождении обратной матрицы A^-1) Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица А^-1, которая вычисляется по формуле:

, где - состоит из соответствующих алгебраических дополнений – присоединённая матрица. Доказательство: Докажем единственность: пусть и ,

тогда

Теорема о ранге матрицы и её следствия. Задача о нахождении линейно независимой подсистемы в системе векторов.

Теорема. Если ранг матрицы системы линейных форм равен r, то существует r линейно независимых форм, от которых линейно зависят все остальные формы. Доказательство. Пусть мы имеем систему m линейных форм :

и пусть матрица из коэффициентов этой системы имеет ранг r. Следовательно, среди определителей, порождаемых матрицей М, есть хотя бы один определитель r-го порядка, отличный от нуля. Мы можем предположить, что один из таких определителей находится в ле­вом верхнем углу матрицы М. Обозначим его через D. Это пред­положение не уменьшает общности наших рассуждений, так как если бы этого не было, то мы соответственным образом изме­нили бы нумерацию форм и неизвестных. Из нашего предположения следует, что первые r форм f₁, f₂, ... , f_r линейно независимы. В самом деле, если бы они были зависимы, то одна из строк определителя D была бы линейной комбинацией других строк и он бы равнялся нулю, что противоречит условию. Покажем теперь, что всякая форма f_k (k>r) линейно зависит от f1,f2,…,f_r. Для этого достаточно показать, что k-я строка матрицы М есть линейная комбинация её первых r строк. Возьмём определитель (r+1)-го порядка:

Этот определитель равен нулю. Действительно, если i r, то будет иметь два одинаковых столбца, поэтому . Если же i > r, то будет определитель (r + 1)-го порядка, порожденный матрицей М ранга r, поэтому и здесь = 0. Разложим определитель Д, по элементам последнего столбца, обозначив их алгебраические дополнения через А_1i, А_2i,. . . , А_r+1i {А_r+1i — алгебраическое дополнение элемента a_ki):

Так как A_r+1i = D 0, то полученную зависимость можно разрешить относительно а_ki:

(1) или обозначая получаем .

Полученное соотношение (1) не только доказывает что k-z строка матрицы M есть линейная комбинация её первых r строк, но и даёт правило нахождения линейной зависимости.

Теорема о базисном миноре (с док.)

Строки базисного минора линейно независимы. Любая строка не входящая в базисный минор является линейной комбинацией базисных строк или строк базисного минора.

Теорема о ранге матрицы и её следствия. Задача о нахождении линейно независимой подсистемы в системе векторов.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых подсистем. Если ранг матрицы равен r, то в качестве r - независимых строк можно взять: во-первых, те строки, которые остались ненулевыми, во-вторых, любые r – строк, для которых существует минор M_r 0 – такие миноры называются базисными.