- •Геометрические векторы. Линейные операции над ними. Коллинеарность.
- •Базис. Разложение по базису. Координаты вектора.
- •Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Декартова прямоугольная система координат
- •Определители. Минор, алгебраическое дополнение.
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Минор. Алгебраическое дополнение.
- •Вычисление определителей n-ого порядка. Треугольные диагональные матрицы.
- •Решение матричных уравнений. Примеры. Их связь с формулами Крамара.
- •Системы линейных уравнений. Матричная и векторная запись. Основные понятия.
- •Правило Крамара для решения систем линейных уравнений.
- •Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.
- •Обратная матрица (определение вычисление единственности). Вырожденные матрицы. Св-ва обратных матриц.
- •Теорема о ранге матрицы и её следствия. Задача о нахождении линейно независимой подсистемы в системе векторов.
- •Теорема о базисном миноре (с док.)
- •Теорема о ранге матрицы и её следствия. Задача о нахождении линейно независимой подсистемы в системе векторов.
- •Теорема Кронекера – Капели (с док.)
- •Базисные и свободные переменные. Геометрическая интерпретация решения системы линейных уравнений.
- •Решение систем линейных уравнений (слу). Свойства решений слу.
Геометрические векторы. Линейные операции над ними. Коллинеарность.
Вектор АВ – направленный отрезок, А-начало, В-конец.
Каждый вектор имеет свою длину
Если начало и конец точки совпадают => нуль-вектор, направления нет.
Вектора равны, если они лежат на // прямых, имеют равную длину и направление.
Под вектором можно понимать множество равных ему векторов в различных точках пространства.
- закрепленный вектор противоположен ,
О перации над векторами: Сложение:
У множение:
Вычитание:
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Линейная зависимость и независимость векторов. Компланарность. Зависимость 4-х векторов в пространстве.
Система векторов называется линейно-независимой, если равенство выполняется лишь в том случае, когда все числа и .
Система векторов называется линейно-зависимой, если равенство выполнимо хотя бы при одном .
Для того, чтобы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.
Для того, чтобы три вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Векторы компланарны если они лежат в одной плоскости.
Любые 4 вектора – линейно зависимы.
Базис. Разложение по базису. Координаты вектора.
Б азис – система векторов - линейно-независима.
- разложение по базису.
Во множестве векторов в трехмерном пространстве
базис состоит из трех некомпланарных векторов.
Некоторые приложения вектора удобно задавать через направляющие косинусы:
Для реального вектора независимыми являются только два любых угла из трех.
Линейные операции над векторами в координатной форме.
1. Сложение:
2. Умножение: При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Для каждого вектора координаты определяются однозначно.
Два вектора равны, если у них совпадают координаты.
Система ортогональная если векторы-базисы взаимно перпендикулярны.
Система ортонормированная если базисом являются ортогональные векторы
Проекция вектора на ось и ее свойства
Проекция на ось равна .
Если -тупой, то проекция будет <0.
В ортогональной системе координат длина вектора находится по теореме Пифагора:
Декартова прямоугольная система координат
Прямоугольная (декартова) система координат на
плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкой пересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
В ДПСК координаты вектора имеют геометрическую иллюстрацию.
Скалярное произведение векторов, его свойства.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
Свойства:
Приложения:
Скалярное произведение в координатной форме
Декартовая прямоугольная система координат:
Доказательство:
Векторное произведение векторов, его свойства
Векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям:
- правая тройка
Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Приложения:
Векторное произведение в координатной форме
Смешанное произведение векторов, его свойства
Смешанное произведение в координатной форме
Прямая на плоскости
Ах+By+C=0 – общее уравнение прямой, где A, B одновременно не равны нулю.
А(х-х0)+В(у-у0)=0 – имеет ясный геометрический смысл.
Каноническое уравнение прямой:
Уравнение прямой, проходящей через две точки:
Параметрическое уравнение прямой:
t – мера расстояния от т.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Нормированное уравнение прямой:
Расстояние от точки до прямой на плоскости
М0(х0;у0); L: Ах+Ву +С=0
Угол между прямыми:
L1: А1х+В1у+С1=0 L2: А2х+В2у+С2=0
n1(А1;В1) n2(А2;В2)
Если:
_____________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________
L1: Ах+Ву+С=0 n(А;В)
а(l;m)
______________________________________________________________
L1: у = к1х+в
L2: у = к2х+в
Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости в пространстве – алгебраическое уравнение 1-й степени относительно 3-х переменных Ах+Ву+Сz+Д=0
А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0
Угол между плоскостями
Угол между плоскостями определяется как угол между их нормалями.
Р1: А1х+В1у+С1z+Д1=0 Р2: А2х+В2у+С2z+Д2=0
n1(А1;В1;С1) n2(А2;В2;С2)
=0 – парал., =1 - перпендикулярны
Уравнение плоскости проходящей через 3 точки
М 1, М2, М3.
М1(х0;у0;z0)
М1М2(х1;у1;z1)
М1М3(х2;у2;z2)
Расстояние от точки до плоскости
Р: Ах+Ву+Сz+Д=0
М1(х0;у0;z0)
Различные виды задания прямой в пространстве
1. Как пересечение двух плоскостей:
2. Каноническое уравнение прямой:
3. Параметрическое уравнение прямой:
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки:
Взаимное расположение прямых в пространстве
- можно решить систему из 4-х уравнений. Если она имеет одно решение => прямые пересекаются.
Угол между прямыми находится как угол между направляющими векторами.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Р: Ах+Ву+Сz+Д=0
1. L // P =>
2.
3.
Кривые 2-го порядка. Эллипс.
Эллипс - геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояния до фиксированных точек (фокусы) есть величина постоянная = 2а.
Каноническое уравнение эллипса: ; a,b – полуоси эллипса
,
Директрисы:
Гипербола
Гипербола – ГМТ на плоскости, для которых модуль разеости расстояний до 2 фиксированных точек F1 и F2 есть постоянная величина = 2a.
К аноническое уравнение гиперболы:
,
Директрисы:
Парабола
Р асстояние от вершины параболы до фокуса равно расстоянию от вершины до директрисы.
Каноническое уравнение параболы:
Общее уравнение кривых второго порядка через эксцентриситет
Кривая является кривой второго порядка на плоскости, если отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть постоянная величина
Отношение расстояния от т. М (принадлежит графику) до фокуса к расстоянию до директрисы есть величина постоянная.
Полярные координаты
П, Э, правая ветвь Г: = , левая ветвь Г: =
Касательные к кривым второго порядка
Гипербола:
Парабола:
Эллипс:
Формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте
-при парал. переносе
- при повороте на угол
Кривые второго порядка со смещенным центром
Гипербола:
Эллипс:
Парабола:
Оптические свойства кривых второго порядка
Э: луч света, выпущенный из F1 после отражения пройдет через F2
Г: Луч света, выпущенный из F1 после отражения пойдет по прямой, проходящей через F2
П: Луч света, выпущенный из F, после отражения пойдет параллельно оси параболы
Общее уравнение поверхностей второго порядка. Эллипсоид
У равнение вида определяет поверхность второго
порядка в пространстве.
Эллипсоид:
Гиперболоид
Параболоид
z = 0
Конус. Цилиндры второго порядка
- Эллиптический цилиндр
- Гиперболический цилиндр
- Параболический цилиндр
Нахождение линии пересечения двух поверхностей
Уравнение линии пересечения двух поверхностей находится путем решения системы уравнений, содержащей уравнения пересекающихся поверхностей. ; F1= F2, выражаем неизвестные.
Свойства алгебраических дополнений матрицы
Сумма произведений элементов любой строки на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки = 0.
Матрицы. Примеры. Операции над матрицами и их свойства.
Опр. Матрица – под числовой матрицей понимается совокупность чисел, записанных в виде: , где m – строки, n – столбцы. Примеры: N – нулевая матрица, E – единичная матрица, D – диагональная матрица, T - треугольная матрица. По определению считается что A=B, если они одного размера и в них равны соответствующие элементы, т.е. , А=В, A=(aij). Операции над матрицами.
I.Сложение матриц:
II. Умножение матрицы на число:
III. Транспонирование матриц:
Свойства:
1. А+В=В+А, 2.(А+В)+С=А+(В+С), 3. ,
4. ,
5. , 6. (А+В)T=АТ+ВТ,
7. . IV. Умножение матриц друг на друга:
cij – сумма попарных произведений, на месте ij стоит сумма произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В. Свойства: 1.
2. A*(B+C)=A*B+A*C,
3. ,
4.
5.. Замечание: Данное умножение матриц удобно при работе с системами линейных уравнений, зная умножение матриц, любую систему лин. уравнений, можно переписать в матричном виде. Замечание: Деление матриц не существует, есть умножение матриц на обратную мавтрицу.