Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели.

Известны два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод использование критерия Дарбина-Уотсона и расчет величины

. (8.13)

Таким образом, d – это отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Практически во всех статистических пакетах прикладных программ значение критерия Дарбина-Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критериев.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как

, (8.14)

где

; . (8.15)

Поскольку _t – остатки, полученные по уравнению регрессии, параметры которого определены обычным методом наименьших квадратов, в соответствии с предпосылками МНК их сумма и среднее значение равны нулю.

. (8.16)

Следовательно, без уменьшения общности можно предположить, что

. (8.17)

Предположим также

. (8.18)

С учетом соотношений (8.17) и (8.18) формула для расчета коэффициента автокорреляции остатков (8.14) преобразуется следующим образом:

. (8.19)

Преобразуем теперь формулу (8.13) расчета критерия Дарбина-Уотсона:

. (8.20)

С учетом (14.18) имеем:

. (8.21)

Сравнив выражения (14.19) и (14.21), нетрудно вывести следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка:

. (8.22)

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и r^₁ = 1, то d = 0. Если в остатках есть полная отрицательная автокорреляция, то r^₁ = –1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r^₁ = 0 и d = 2. Значит,

0  d  4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н₁ и Н*₁ состоят соответственно в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона d_L и d_U для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1 – ) представлено на рис.8.2.

Рис.8.2. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции остатков

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н₀.

По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений n = 7, числа независимых переменных модели k = 1 и уровня значимости  = 0,05 критические значения d_L = 0,700 и d_U = 1,356. Фактическое значение d = 2,48 попадает в промежуток от d_U до 4 – d_U. Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу Н₀ об отсутствии автокорреляции в остатках.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона.

Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина. Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы. В-третьих, критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок. В этом смысле результаты примера 8.4 нельзя считать достоверными ввиду чрезвычайно малого числа наблюдений n = 7, по которым построена модель регрессии.