№19Оценивание параметров структурной модели
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:
– косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
– двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);
– трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК);
– метод максимального правдоподобия с полной информацией (ММПf);
– метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММПs).
Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легко реализуемы. Косвенный метод наименьших квадратов применяется для идентифицируемой системы одновременных уравнений, а двухшаговый метод наименьших квадратов – для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Перечисленные методы оценивания также используются для сверхидентифицируемых систем уравнений.
Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения), разработанный в 1949 г. Т. Андерсоном и Н.Рубиным. Математическое описание метода дано, например, в работе Дж. Джонстона.
В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высокой. Несмотря на его популярность, к середине 1960-х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов в связи с гораздо большей простотой последнего. Этому способствовала также разработка в 1961 г. Г. Тейлом семейства оценок коэффициентов структурной модели. Для данной модели Г. Тейл определил семейство оценок класса К и показал, что оно включает три важных оператора оценивания: обычный МНК при К = 0, ДМНК при К = 1 и метод ограниченной информации при plimK = 1. В последнем случае решениеструктурной модели соответствует оценкам по дмнк.
Дальнейшим развитием двухшагового метода наименьших квадратов является трехшаговый МHK (TМHK), предложенный в 1962 г. А. Зельнером и Г. Тейлом. Этот метод оценивания пригоден для всех видов уравнений структурной модели. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается ДМHК. С концепцией данного метода можно ознакомиться в работе Дж. Джонстона.
№20.Освенный метод наименьших квадратов
Как уже отмечалось, косвенный метод наименьших квадратов используется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения KМHK предполагает выполнение следующих этапов работы:
– структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;
– для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МHK оцениваются приведенные коэффициенты (ij);
– коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели.
Рассмотрим применение КМНК для простейшей идентифицируемой эконометрической модели с двумя эндогенными и тремя экзогенными переменными:
.
Приведенная форма модели составит:
,
где u1 и u2 – случайные ошибки приведенной формы модели.
Тогда для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:
.
Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели и получаем:.
Переходим от приведенной к структурной форме модели, т.е. к системе уравнений
.
№21
Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретически е значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МИК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название «двухшаговый метод наименьших квадратов», ибо МНК используется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной y1 = i1 x1 + i2 x2 + ... + ij xj и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.
Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
– все уравнения системы сверхидентифицируемы;
– система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.
Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.
Двухшаговый метод наименьших квадратов является наиболее общим и широко распространенным методом решения систем одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК. Поэтому в ряде компьютерных программ, например, DSTAT, для решения системы одновременных уравнений рассматривается лишь двухшаговый метод наименьших квадратов.
Несмотря на важность системы эконометрических уравнений, на практике часто не принимают во внимание некоторые взаимосвязи; применение традиционного МНК к одному или нескольким уравнениям также широко распространено в эконометрике. В частности, при построении производственных функций и анализе спроса можно проводить, используя обычный метод наименьших квадратов.
№22
Наиболее широко системы одновременных уравнений применяются для построения макроэкономических моделей функционирования экономики той или иной страны. Большинство из них представляют собой мультипликаторные модели кейнсианского типа с той или иной степенью сложности. Статическая модель Кейнса для описания народного хозяйства страны в наиболее простом варианте имеет следующий вид:
где С – личное потребление в постоянных ценах; у – национальный доход в постоянных ценах; – случайная составляющая; I – инвестиции в постоянных ценах.
Структурный коэффициент b используется для расчета мультипликаторов. По данной функции потребления можно определить два мультипликатора – инвестиционный мультипликатор потребления МС и инвестиционный мультипликатор национального дохода Му.
Инвестиционный мультипликатор потребления рассчитывается по формуле
.
Инвестиционный мультипликатор национального дохода можно определить как
.
Рассматриваемая модель Кейнса точно идентифицируема, и для получения величины структурного коэффициента b применяется КМНК, т.е. строится система приведенных уравнений
,
в которой A = A’, а параметры В и В’ являются мультипликаторами, т.е. B = MC и B = My. В этом можно убедиться, если выразить коэффициенты приведенной формы модели через структурные коэффициенты. Для этого в первое уравнение структурной модели подставим балансовое равенство:
Как уже отмечалось, не все эконометрические модели имеют вид системы одновременных уравнений. Так, широкий класс функций спроса на ряд потребительских товаров часто представляет собой рекурсивную систему, в которой с уравнениями можно работать последовательно и проблемы одновременного оценивания не возникают. В этом плане система одновременных уравнений – лишь один из возможных вариантов построения экономических моделей.
№23 и 24